Satz des Pythagoras - Nachweis, dass er für weitere Dimensionen gilt?

Question

Vielen ist der Satz des Pythagoras im Zweidimensionalen aus der Schule bekannt. Der populäre Nachweis über die Flächengleichheit ist auch relativ verständlich, und mit der Erklärung über die Ähnlichkeiten der Teildreiecke zum Gesamtdreieck wird der Zusammenhang schließlich einleuchtend.

Im Dreidimensionalen kann man sich die Dreiecksseiten als Würfel denken:

Bildquelle (GNU)

Doch wie sieht es aus, wenn man den Satz des Pythagoras in höheren Dimension verwenden möchte?

Kann jemand den Zusammenhang von 2D → 3D → 4D erklären? Und nicht nur das, wie kann man die Gültigkeit für den Pythagoras für höhere Dimensionen mathematisch nachweisen bzw. widerlegen?

Ich bin gespannt!

Answer 1

Also mir ist nicht ganz klar. Das Bild zeigt einen Baum an dem der Phythagoras gilt.

a^2 + b^2 = c^2

Aber deswegen gilt das ja nicht dreidimensional

a^3 + b^3 = c^3

Die Summe der beiden roten Würfel ergibt nicht das Volumen des grünen Würfels. Das steht ja auch so auf der Seite, von der du die Zeichnung hast. Dort haben sie das Volumenverhältnis k sogar berechnet. Also letztendlich ist das auch nur der zweidimensionale Phythagoras nur das man die Kanten noch in die Tiefe gezogen hat.

Oder habe ich da jetzt etwas missverstanden?

Es gilt übrigens: 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3

Allerdings nicht in dem schönen Baum da oben :(

Comments

Ich glaube mich daran zu erinnern, dass der "Große Satz von Fermat" - ich hoffe, den Titel korrekt wiedergegeben zu haben - gerade besagt, dass

a^n + b^n = c^n

für n > 2

eben niemals gilt!

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@Der_Mathecoach: Ich hatte  vor Jahren einmal gehört, dass der Pythagoras auch in höheren Dimensionen gilt, daher die Frage.

Die Summe der beiden roten Würfel ergibt nicht das Volumen des grünen Würfels.

Damit hat sich die Frage bereits erledigt, das heißt, der Pythagoras kann nicht einfach so auf weitere Dimensionen erweitert werden.

Ggf. wäre es noch interessant herauszuarbeiten, unter welchen Bedingungen ein a³ + b³ = c³ gültig ist. Aber das ist Raum für eine andere Frage. Danke :)

Danke, auch an Brucybabe!

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Zumindest besagt der Satz das es keine Lösung gibt für positive ganze Zahlen a, b, c und n.

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Pythagoras in 3D. War das nicht etwas mit einem Tetraeder? Die Summe der Seiten im Quadrat ist die Basisfläche im Quadrat?


Nachtrag: Ja genau, das wars glaub: http://did.mat.uni-bayreuth.de/~matthias/geometrieids/pythagoras/html/node10.html

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Schau mal hier:

https://docs.google.com/file/d/0BysTVIEbLIN8MmpJRXRPT2lQakU/edit?usp=sharing

Auf der 4 Seite... Das ist vielleicht noch was ;)

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Der Pythagoras gilt nicht in höheren Dimensionen. Das besagt doch der letzte Satz von Fermat.

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Also der Satz von de Gua...

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Pierre de Fermat?

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"Ich hatte  vor Jahren einmal gehört, dass der Pythagoras auch in höheren Dimensionen gilt, daher die Frage."

Da wäre als erstes zu klären, wie der Satz des Pythagoras in höheren Dimensionen überhaupt zu verstehen ist. In der hyperbolischen und in der sphärischen Geometrie hat er z.B. eine ganz andere Form: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem#Non-Euclidean_geometry

Ansonsten gäbe es noch die Aussage, dass für zwei orthogonale Vektoren x und y in einem (Prä)-Hilbert-Raum || x+y ||² = ||x||² + ||y||² gilt (was auch sehr leicht zu beweisen ist).

Im ℝ² mit der euklidischen Norm ist das ja gerade der gewöhnliche Pythagoras.

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Hm ... die Bemerkung von Mathecoach (Zitat: "Es gilt übrigens 3³ + 4³ + 5³ = 6^3") hat jeder gekonnt wegignoriert.

Da liegt meiner Meinung nach aber des Pudels Kern!

Dass aⁿ + bⁿ = cⁿ für n > 2 nicht ganzzahlig funktioniert ist ja klar.

Aber wieso soll es bei höheren Dimensionen nicht auch mehr Summanden geben?

Und zwar genau n Summanden?

Gibt's zur zitierten Gleichung eventuell einen Körper (vielleicht nicht zwingend mit ebenen Flächen)?

Und gibt's vielleicht sogar ganzzahlige Lösungen für a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴ ..?