Mengen offen oder kompakt

Question

Hey könnte mir jemand kurz bei dieser Frage helfen, bräuchte die Antwort zur Lösung einer Inzidenzaufgabe (Geometrie)

Sind folgende mengen offen oder kompakt ?

M1 = {  (x,y) e R ^2 : y > x^2 }

M2 = {  (x,y) e R ^2 : y > =x^2 }

Answer 1

Die Abbildung \(F:\; \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; (x,y)\mapsto y-x^2\) ist

als polynomiale Funktion stetig. Da Urbilder offener / abgeschlossener Mengen unter

stetigen Abbildungen resp. offen / abgeschlossen sind,

ist \(M_1=F^{-1}((0,\infty))\) offen und \(M_2=F^{-1}([0,\infty))\) abgeschlossen.

Da \(M_2\) nicht beschränkt ist, ist diese Menge nicht kompakt.