Es geht um diese Menge:
$$V\quad :=\quad \left\{ x\quad :=\quad _{ }^{ t }{ \left\{ { x }_{ 1 }{ ,\quad ...\quad ,\quad x }_{ n } \right\} \quad \in \quad { R }^{ n }\quad |\quad { \left\| x \right\| }_{ \infty } }\quad <\quad 1\quad ,\quad { x }_{ 1 }\quad \neq \quad 0 \right\} $$
Ich bin mir nicht sicher ob das schon ausreicht damit es sich um eine Menge offene Menge handelt:
$$\\ V\quad :=\quad \left\{ x\quad :=\quad _{ }^{ t }{ \left\{ { x }_{ 1 }{ ,\quad ...\quad ,\quad x }_{ n } \right\} \quad \in \quad { R }^{ n }\quad |\quad { \left\| x \right\| }_{ \infty } }\quad =\quad max\left\{ \left| { x }_{ 1 } \right| ,\quad ...,\quad \left| { x }_{ n } \right| \right\} \quad <\quad 1\quad ,\quad { x }_{ 1 }\quad \neq \quad 0 \right\} \\ \\ V\quad :=\quad \left\{ x\quad :=\quad _{ }^{ t }{ \left\{ { x }_{ 1 }{ ,\quad ...\quad ,\quad x }_{ n } \right\} \quad \in \quad { R }^{ n }\quad |\quad { \left\| x \right\| }_{ \infty } }\quad =\quad max\left\{ \left| { x }_{ 1 } \right| ,\quad ...,\quad \left| { x }_{ n } \right| \right\} \quad \in \quad \left( 0\quad ,\quad 1 \right) \right\} \\ \\ V\quad ist\quad offen.\\ $$
Und hier weiß ich nicht ob ich mir das richtig vorgestellt habe:
$$\\ Sei\quad V\quad die\quad Menge\quad aller\quad Vektoren\quad in\quad { R }^{ n }\quad deren\quad Komponenten\quad \in \quad [0,\quad 1)\quad und\quad eine\\ Komponente\quad \in \quad (0,\quad 1)\quad ist.\quad Also\quad besteht\quad V\quad aus\quad mehr\quad als\quad nur\quad einem\quad Vektor\quad x.\\ Sei\quad x\quad \in \quad V\quad und\quad y\quad \in \quad V\quad mit\quad x\quad \neq \quad y.\quad \\ Sei\quad { V }_{ 1 }\quad =\quad \left\{ x \right\} \quad =\quad { V }\quad \setminus \quad \left\{ y \right\} \quad \subseteq \quad V\quad und\quad { V }_{ 2 }\quad =\quad \left\{ y \right\} \quad =\quad { V }\quad \setminus \quad \left\{ x \right\} \quad \quad \subseteq \quad V\quad \\ So\quad dass\quad \quad { V }_{ 1 }\quad =\quad V\quad \bigcap \quad { U }_{ \varepsilon \quad }({ x }_{ 1 },\quad ...,{ x }_{ n })\quad und\quad { \varepsilon }\quad :=\quad \frac { 1 }{ 2 } max\left\{ \left| { y }_{ 1 } \right| -\left| { x }_{ 1 } \right| ,\quad ...,\quad \left| { y }_{ n } \right| -\left| { x }_{ n } \right| \right\} \\ \\ Da\quad x\quad \neq \quad y\quad ist\quad min\left\{ \left| { y }_{ 1 } \right| -\left| { x }_{ 1 } \right| ,\quad ...,\quad \left| { y }_{ n } \right| -\left| { x }_{ n } \right| \right\} \quad >\quad 0\quad und\quad \varepsilon \quad >\quad 0.\quad Die\quad \\ Umgebung\quad { U }_{ \varepsilon \quad }({ x }_{ 1 },\quad ...,{ x }_{ n })\quad enthält\quad nur\quad { x }_{ 1 },\quad ...,{ x }_{ n }.\\ \quad \\ und\quad ebenso\quad { V }_{ 2 }\quad =\quad V\quad \bigcap \quad { U }_{ \varepsilon }({ y }_{ 1 },\quad ...,{ y }_{ n })\quad mit\quad { \varepsilon }\quad :=\quad \frac { 1 }{ 2 } max\left\{ \left| { x }_{ 1 } \right| -\left| { y }_{ 1 } \right| ,\quad ...,\quad \left| { x }_{ n } \right| -\left| { y }_{ n } \right| \right\} \\ \\ Da\quad Epsilon-Umgebungen\quad offen\quad sind\quad gilt:\\ \\ (Seien\quad { Q }_{ 1 }\quad :=\quad { U }_{ \varepsilon \quad }({ x }_{ 1 },\quad ...,{ x }_{ n })\quad und\quad { Q }_{ 2 }\quad :=\quad { U }_{ \varepsilon }({ y }_{ 1 },\quad ...,{ y }_{ n })\\ V\quad \subseteq \quad { Q }_{ 1 }\quad \bigcup \quad { Q }_{ 2 }\quad und\quad { Q }_{ 1 }\quad \bigcap \quad { Q }_{ 2 }\quad =\quad \emptyset \quad sowie\quad \\ { V }_{ 1 }\quad \neq \quad \emptyset \quad und\quad \quad { V }_{ 2 }\quad \neq \quad \emptyset \\ \\ und\quad V\quad ist\quad nicht\quad zusammenhängend.\\ $$
Und hier wiederum weiß ich nicht ob ich 1. genug erläutert habe um diese Aussage machen zu können:
$$ \\ \\ V\quad ist\quad nicht\quad kompakt:\quad V\quad kann\quad nicht\quad kompakt\quad sein,\quad weil\quad V\quad eine\quad offene\quad Menge\quad ist.\\ Kompakte\quad Mengen\quad sind\quad abgeschlossen\quad und\quad beschränkt.\\ \\ \\ \\ $$
