Sei λ das Borel-Lebesguesche Maß auf (der Borel-Algebra von) ℝ^n.Zeige :

Question

Ich wünsche euch erstmal frohe weichnachten auch wenns vorbei ist und einen guten rutsch ins neue Jahr :)

Ich habe eine Aufgabe und komme leider nicht drauf und bin auf eure Hilfe sehr angewiesen.
Würde mich sehr darüber freuen.

Ich soll jetzt zeigen:
a) Ist U ⊆ ℝⁿ  offen und nicht leer, so gilt : λ(U) > 0.
b) Ist K ⊆ ℝⁿ kompakt so gilt : λ(K) < ∞

Die Aufgabe is bestimmt sehr einfach nur ich komme einfach nicht drauf habe schon in vielen Büchern geschaut und ich kriege einfach den Beweis nicht hin.

Vielen Dank an alle :)

Comments

In die offene Menge kannst du einen offenen Ball reinquetschen.

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Ja aber mein Problem ist ich krieg einen gescheiten beweis nicht hin.

Also sag mal so einen schönen beweis auf blatt :)

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Schreib dir doch mal genau auf was du zeigen sollst und was du alles über das Lebesgue-Maß weißt. Dann solltest du mit Yakyus Tipp recht zügig zum Ziel kommen, falls du das Thema verstanden hast. Denn das ist kein Beweis, für den man irgendeine unkonventionelle Idee oder vergleichbares braucht.

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Im Grunde ist der kurze Hinweis, den ich dir gegeben habe eigentlich der vollkommen ausreichende Gedanke für a).

Einen Beweisversuch von dir kann ich gerne überprüfen und korrigieren. Gezielte Rückfragen ebenso. Alles andere halte ich persönlich für unangemessen.

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ich komm nicht drauf :(

ich kriege keinen gescheiten beweis hin :(

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Wir haben es in der Vorlesung mit Quadern gemacht. Ich versuch's mal. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)

Es ist ∅≠U offene Teilmenge des ℝ^n.
Sei Q= (0,1)ⁿ der offene Quader, der in U liegt.

Mit der Monotonie- Eigenschaft für Maße folgt:
λ(U) ≥ λ(Q) = λ((0,1)ⁿ) = 1ⁿ = 1 > 0

Geht das so? Ist das richtig?

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Oh Moment, das scheint nicht richtig zu sein! Wäre es besser mit Überdeckungen von Quadern zu arbeiten?

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Du kannst nicht einfach annehmen, dass Q in U liegt.

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Ich muss eine abzählbare Überdeckung offener Quader (a_i,b_i) wählen. Ist das richtig so?
Aber dann kann ich doch das Lebesgue- Maß nicht bestimmen?

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Nein, du kannst in dem offenen Ball natürlich auch ein passendes offenes Quader finden. Halte dich an eure Definitionen von offen und dem Lebesgue-Maß. Benutze vor allem dann die Monotonie.

Das mit der endlichen Teilüberdeckung wird erst in b) gebraucht.

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Okay, also offen heißt die Menge, wenn keines der Elemente auf ihrem Rand liegt. Und das Lebesgue- Maß ist ein translationsinvariantes Maß, dass jedem Quader seinen Flächeninhalt zuordnet. Aber trotzdem komme ich nicht weiter, alle meine Überlegungen führen zu dem Ergebnis oben. Wie kann ich denn ein Q bestimmen, das in U liegt? Da bin ich doch ziemlich frei, oder? Um nachher die Fläche leicht zu berechnen wäre es halt geschickt, dass die eine Ecke im Ursprung liegt.

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"Offen heißt eine Menge, wenn keines der Elemente auf ihrem Rand liegt"

Aha und wie habt ihr Rand definiert? Da musst du schon tiefer graben.

Ziemlich frei schon, aber immer noch im Rahmen der gegebenen Voraussetzungen. Was daran geschickt sein soll kann ich nicht einsehen, deine offene Menge muss ja nicht mal in der Nähe vom Ursprung liegen (klar kannst du die Translationsinvarianz verwenden aber da knabberst du unnötigerweise am falschen Ende). Du sollst ja auch nicht irgendein Maß ausrechnen sondern nur zeigen, dass es in der offenen Menge etwas gibt (also eine Teilmenge) deren Maß größer als Null ist. Dann ist automatisch auch das Maß der offenen Menge größer als Null.

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ich komme nicht drauf. Kannst du mir bitte ein Beispiel für eine offene Teilmenge geben?