Fragen zur Differenzialrechnung: Punkte werden unendlich nah aneinander geschoben?

Question

Ich schreibe am Mittwoch meine ZAP in Mathe. Wir haben einen Zettel mit allen Anforderungen bekommen. Ein Punkt ist:

Differenzialrechnung in Sachzusammenhängen (z.B. durchschnittliche und momentane Änderungsrate; Interpretation ausgezeichneter Punkte im Sachkontext).

Was ist damit jetzt gemeint und wie funktioniert das?

Ich habe ein Beispiel gesehen, wo eine Kurve ansteigt und zwei Punkte markiert sind. Nun wurde die Steigung zwischen diesen beiden Punkten ausgerechnet. Das verstehe ich ja auch allerdings kam später sowas wie lim x -> ∞ .. wo also (glaube ich) die punkte unendlich nah aneinander geschoben wurden. Dies verstehe ich nicht.

Könntet ihr mir das erklären und was mit Interpretation ausgezeichneter Punkte im Sachkontext gemeint ist?

BTW: Ist die Steigung an einem Punkt nicht einfach die dazu passende Tangente? Deren Steigung kann ich nämlich berechnen.

Answer 1

Hi, hier findest Du Material zur Vorbereitung:
http://www.brd.nrw.de/lerntreffs/mathe/pages/pruefung/vklausur/zk-ef/index.php

"Ein Punkt ist: Differenzialrechnung in Sachzusammenhängen (z.B. durchschnittliche und momentane Änderungsrate; Interpretation ausgezeichneter Punkte im Sachkontext). Was ist damit jetzt gemeint und wie funktioniert das? Ich habe ein Beispiel gesehen, wo eine Kurve ansteigt und zwei Punkte markiert sind. Nun wurde die Steigung zwischen diesen beiden Punkten ausgerechnet."

Diese (Sekanten-)Steigung ist die "durchschnittliche Änderungsrate".

"Das verstehe ich ja auch allerdings kam später sowas wie lim x -> ∞ .. wo also (glaube ich) die punkte unendlich nah aneinander geschoben wurden. Dies verstehe ich nicht."

Dieser "Grenzwert der Sekantensteigungen" entspricht der Tangentensteigung an einem Punkt der Kurve. Aus den Sekanten wird durch "Zusammenschieben der Schnittpunkte" zu einem Punkt die Tangente in diesem Punkt, dem "Berührpunkt". Dies ist die "momentame Änderungsrate".

Im Sachkontext kann die betrachtete Funktion beispielsweise ein zurückgelegter Weg sein. Dann wäre die Änderungsrate die Geschwindigkeit, mit der dieser Weg zurückgelegt wird.

"Könntet ihr mir das erklären und was mit Interpretation ausgezeichneter Punkte im Sachkontext gemeint ist?"

Die Frage ist sehr allgemein; es ist einfacher dies an jonkreten Beispielaufgaben (siehe Link oben) zu untersuchen.

"BTW: Ist die Steigung an einem Punkt nicht einfach die dazu passende Tangente? Deren Steigung kann ich nämlich berechnen."

Die Steigung in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt.

Answer 2

Die Steigung in einem Punkt ist die momentane Änderungsrate, die durch f'(x) berechnet wird. 

Wenn wir z.B. die Funktion

f(x) = 0,5x^3 - 2x^2 + x - 7 haben, so ist die 1. Ableitung

f'(x) = 1,5x^2 - 4x + 1

Der Anstieg im Punkt x = 2 wäre dann

f'(2) = 1,5*2^2 - 4*2 + 1 = 6 - 8 + 1 = -1

Um die durchschnittliche Änderungsrate zu bestimmen, dividierst Du die "y-Differenz" durch die "x-Differenz". 

Hast Du z.B. die Funktion f(x) = x^2 und willst die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x = 1 und x = 5 berechnen, so erhältst Du: 

(5^2 - 1^2)/(5 - 1) = 24/4 = 6

"rechts - links durch rechts - links"

 

lim f(x) 

x->∞ 

 

bzw.

lim f(x)

x->-∞

 

bedeutet normalerweise das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also wenn x sehr groß oder sehr klein wird.

Da kann man einfach einen sehr kleinen Wert (z.B. - 1000000) oder einen sehr großen Wert (z.B. + 1000000) in den Taschenrechner eingeben oder sich überlegen, dass z.B. bei einem Polynom 3. Grades wie

f(x) = 2x^3 - x^2 + 5x - 100

für sehr große oder sehr kleine Zahlen die 2x^3 das größte Gewicht das größte Gewicht haben.

Für x->+∞ wird f(x) also in Richtung +∞ gehen,

für x->-∞ dagegen in Richtung -∞

(Aber für f(x) = x^2 geht f(x) natürlich beide Male in Richtung +∞)

 

Hoffe, das hilft ein wenig :-)