Anteil der Fläche des schraffierten Rechtecks an der Fläche des Quadrats?

Question

Im abgebildeten Quadrat haben die vier Rechtecke den gleichen Umfang.

Wie groß ist der Anteil der Fläche des schraffierten Rechtecks an der Fläche des Quadrats?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Aufgabe beantworten könnte.

Answer 1

Hui, eine Knobelaufgabe.
Also, erstmal sollte man ein paar Buchstaben für die Seiten vergeben:

 

Damit sind alle benötigten Seiten bekannt. Die Fläche des gesamten Quadrats ist a², die Fläche des gesuchten Rechtecks f*b, es ist also nötig, f und b abhängig von a auszudrücken, um den Quotienten zu ermitteln.

 

Dafür müssen nach und nach die einzelnen Variablen eliminiert werden. Folgende Gleichungen lassen sich aus dem Bild ablesen:

2e + 2 c = 2a + 2d (I)

2e + 2c = 2b + 2f (II)

2a + 2d = 2b + 2f (III)

2f = e (IV)

c+b = a (V) |-b

2f + d = a (VI)

Zunächst kann man e = 2f  und c = a-b in alle Gleichungen außer (IV) und (V) einsetzen, um so e und c zu eliminieren:

4f + 2a - 2b = 2a + 2d (I*) |-2a

4f + 2a - 2b = 2b + 2f (II*) |+2b

2a + 2d = 2b + 2f (III*)

2f + d = a (IV*) | -2f

Nun lässt sich außerdem d=a-2f einsetzen, an den ersten beiden Gleichungen kann man auch noch ein bisschen feilen.

4f - 2b = 2a - 4f (I**) |+4f+2b

4f + 2a = 4b + 2f (II**) |-2f-2a

2a + 2a - 4f = 2b + 2f (III**) |+4f -2b

Das ergibt:

8f = 2a + 2b (i)

2f = 4b-2a (ii)

4a -2b = 6f (iii)

(ii) ergibt:

f = 2b - a (ii*)

Eingesetzt in (i):

16b - 8a = 2a + 2b |+8a -2b

14b = 10a

b = 5/7 a

Das wiederum eingesetzt in (ii*):

f = 10/7 a - a = 3/7a

 

Der Flächeninhalt des kleinen Rechtecks lautet also: f*b = 5/7 a * 3/7 a = 15/49 a²

Der Anteil am gesamten Quadrat lautet also 15/49.
 

Answer 2

Vorüberlegung:

Da am Schluss nur das Verhältnis der Flächen des einen Rechtecks zur Fläche des Quadrats gesucht ist und Proportionalitäten im Spiel sind, kann man für die Quadratseite 1 setzen.

Nun nenne ich die Länge des Rechtecks (horizontal) a und die Breite (vertikal) b.

Gesucht ist somit das Verhältnis a*b : 1 oder einfach a*b

Nun kann ich die Figur beschriften.

Oben horizontal steht 1. Rechts vertikal von unten her b, b, 1-2b

Unten horizontal von links 1-a, a

Links vertikal von unten 2b, 1-2b

Da sind jetzt nur 2 Unbekannte vorhanden. Es genügen 2 Gleichungen.

Da sie Umfänge gleich sind, sind auch die halben Umfänge gleich.

Also einerseits

1.    a+b = (1-a) +2b

andererseits

2.    a+b = 1 + 1 -2b

2.'    a = 2-3b           einsetzen in 1.

1.'    (2-3b) + b = 1 -(2-3b) + 2b

1.''     2 -2b = - 1 + 3b + 2b

1.'''     3 = 7b         → b = 3/7

in 2.' einsetzen       a = 2 - 3*3/7  = (14-9)/7 = 5/7

Zum Schluss: Das gesuchte Verhältnis ist a*b = 3/7 * 5/7  = 15/49. Also 15 : 49

Kontrolle: 49 ist eine Quadratzahl. Man erhält deshalb eine ganzzahlige Lösung, wenn die Quadratseite proportional auf 7 vergrössert wird. Dann ist a=5 und b=3. Für die übrigen Rechteckseiten bleiben links 2 und 6 und obern 1 und 7. Der Umfang all dieser Rechtecke ist 2*8 = 16.

 

Answer 3

Kurzer Lösungsweg:

1. Umfang: 2(a+a-2f)

2. Umfang: 2(2f+a-b)

3. Umfang: 2(f+b)

Das System: 1. Umfang = 2. Umfang

                    2.Umfang = 3. Umfang

hat die Lösungen a=7f/3 und b=5f/3.

Dann ist (fb)/a²=15/49

Answer 4

Statt von außen nach innen kann man die Aufgabe auch von innen nach außen lösen. Bezeichnet man die Längen des schaffierten Rechtecks mit x und y, hat das Rechteck links daneben die Längen 2x und (y-x), und das obere Rechteck hat die Seitenlängen (2y-x) und (2x-y).

2y-x ist gleichzeitig die Breite des Quadrats, und 2x+(2x-y)=4x-y ist seine Höhe. Da Breite und Höhe gleich sind, gilt

2y-x=4x-y und somit x=0,6y.

Der gesuchte Flächenanteil ist \( \frac{xy}{(2y-x)^2} =\frac{0,6y^2}{(1,4y)^2}=\frac{0,6}{1,96} =\frac{60}{196}=\frac{15}{49} \).

Answer 5

Da es gerade "in" zu sein scheint, alte Aufgaben neu zu lösen, versuche ich es mit einer einzigen Variablen.

Das schraffierte Rechteck habe die senkrechte Seite 1 und die waagerechte Seite b. Der halbe Umfang ist 1+b.

Das linke Rechteck hat dann die Seiten 2 und 1+b-2=b-1.

Die waagerechte Quadratseite beträgt dann 2b-1.

Das obere Rechteck hat die senkrechte Seite 1+b - (2b-1) = 2-b.

Damit ist die senkrechte Quadratseite 4-b.

Da die Quadratseiten gleichlang sind, gilt

2b-1 = 4-b → 3b = 5 → b=5/3.

Das schraffierte Rechteck hat den Flächeninhalt 1•b=5/3.

Das Quadrat (7/3)^2=49/9.

(5/3)/(49/9)=15/49.