Nullstellen der Exponentialfunktion f(x)=4-e^{0,5x}-e^{-0,5x} berechnen

Question

Hi Gute-Mathe-Frage-Forum-User,

 

ich soll die Nullstellen folgender Funktion exakt berechnen:

f(x)=4-e^0,5x-e^-0,5x

 

Laut meinem Lehrer muss das exakt gehen. Sein Tipp war die Substitution. Ich weiß aber nicht wie ich Substitution hier anwenden soll. Wäre echt cool wenn mir jemand helfen könnte. Die Lösung bitte so verständlich wie es geht.

 

Nick

Answer 1

Hi Nick,

 

mein Vorschlag ist erstmal mit der e-Funktion zu muliplizieren:

0=4-e^0,5x-e^-0,5x  |*e^{0,5x}

0=4*e^{0,5x}-e^{2*0,5x}-1

 

Substitution: e^{0,5x}=u

-u^2+4u-1=0

 

pq-Formel (Achtung, erst durch -1 teilen):

u₁=2-√3 und u₂=2+√3

 

Resubstitution:

e^{0,5x}=u_1,2

0,5x=ln(u_1,2)

x=2*ln(u_1,2)

 

x₁=-2,634

x₂=2,634

 

Grüße

Comments

Hey Danke für deine Schnelle Antwort. Aber wo kommt die -1 her wenn du mit e^0,5x multiplizierst?

Das Potenzgesetz a^x * a^y = a^x+y

Deshalb ja den Faktor 2 vor der Potenz aber warum minus 1?

 

Gruß Nick

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Es ist e^{-0,5x}*e^{0,5x}=e^{-0,5x+0,5x}=e^0=1 ;).

Answer 2

f(x)= 4 - e^0,5x - e^-0,5x = 0

z = e^{0.5x}
x = 2*ln(z)

4 - z - 1/z = 0

4z - z^2 - 1 = 0

z^2 - 4z + 1 = 0

z = 2 - √3 ∨ z = √3 + 2

x = 2*ln(2 - √3) = -2.633915793

x = 2*ln(√3 + 2) = 2.633915793