Integralrechung. Integral von e^{-x} cos(πx) dx

Question

komme bei diesem Integral nicht weiter:

$$\int { { e }^{ -x }cos(\pi x)dx } $$

Danke:)

Answer 1

$$ \int_ {}{}e^{-x}cos(πx)dx $$ partielle Int:
$$=e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } - \int_ {}{}-e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } $$
$$=e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } + \int_ {}{}e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } $$
und für das neue Integral noch mal
$$=e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } +e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 } -\int_ {}{}-e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 } $$
$$=e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } +e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 } +\int_ {}{}e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 } $$
Das neue Integral ist das gleiche wie ganz am Anfang, also beide auf eine Seite gebracht gibt
$$ \int_ {}{}e^{-x}cos(πx)dx -\int_ {}{}e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 } =e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } +e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 }$$
$$ (1-\frac { 1 }{  π^2  })\int_ {}{}e^{-x}cos(πx)dx  =e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } +e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 }$$
$$\int_ {}{}e^{-x}cos(πx)dx  =\frac{e^{-x}\frac { sin(πx) }{ π } +e^{-x}\frac { cos(πx) }{ π^2 }}{ 1-\frac { 1 }{  π^2  }}$$

Answer 2

das mußt Du 2 Mal partiell integreiren .Damit Du nicht in eine Endlosschleife kommst, addiere nach der

2. part. Integration auf beiden Seiten

+ π^2 *int (e^{-x} cos (π*x))  dx