Die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke ist so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks

Question

Aufgabe:

In einem konvexen Viereck ABCD sind E und F die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [CD]. Außerdem ist G der Schnittpunkt der Strecken [AF] und [ED] und H der Schnittpunkt der Strecken [EC] und [BF].

Zeige: Die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke AGD und BCH ist so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks EHFG.

Hinweis: Ein Viereck heißt konvex, wenn alle Innenwinkel kleiner als 180° sind.

Comments

ich habe die gleiche Aufbekommen. :) Für Strahlensätze brauche ich ja Parallelen und die gibt es leider nicht! Hiffe jemand kann noch einen Tipp geben. Danke :)

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Die strecke  |DE |und |FB|  sind parallel., weil F und E genau  in der Mitte liegen.

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Das ist nicht richtig, es sieht nur in dem Bild so aus.
Ein (ziemlich extremes) Gegenbeispiel:

Answer 1

Da die Höhen (siehe Bild) parallel sind, kann man den Strahlensatz auf sie anwenden. Da der Punkt F die Strecke CD in zwei gleich grosse Teile teilt, gilt: Die Höhe des Dreiecks ABF ist gleich dem Mittelwert der Höhe des Dreiecks ADE und BCE.

Gemäss Behauptung gilt: Fläche AGD + Fläche BCH = Fläche EHFG

Dann gilt auch: Fläche ADE + Fläche BCE = Fläche ABF (weil die kleinen Dreiecke AEG und EBH gemeinsame Flächen des Vierecks und der beiden Dreiecke sind)

Die Dreiecks-Fläche ist gleich Grundseite * Höhe / 2. Also gilt:

Fläche ADE = h_1 * AE / 2 

Fläche BCE = h_3* EB / 2 

Fläche ABF = h_2 * (AE + EB) / 2

h_2 = (h_1 + h_3) / 2 (arithm. Mittel)

Daraus folgt:

h_1 * AE / 2 + h_3* EB / 2 = h_1 * AE / 2 + h_3* AE / 2 = (h_1 + h_3) / 2* AE

h_2 * (AE + EB) / 2 =  (h_1 + h_3) / 2 * (AE + EB) / 2 = (h_1 + h_3) / 2 * (2 * AE) / 2 = (h_1 + h_3) / 2 * AE

Wenn man die kleinen Dreiecke wieder abzieht, erhält man Fläche AGD + Fläche BCH = Fläche EHFG