Wie implizit x^3+y^3=3axy differenzieren? Woher kommen die y'?

Question

Kann mir jemand ausführlich anhand dieser Aufgabe erklären wie man implizit differenziert?

Habe die Lösung, kann es aber leider dennoch nicht nachvollziehen...

x³+y³=3axy

Lösung: 

3x^2+3y^2y'=3ay+3axy'

Woher kommen die zwei y'? Der Rest scheint ja normal abgeleitet zu sein (zumindest die linke Seite)

Answer 1

x³+y³=3axy

Lösung: 

3x²+3y²y'=3ay+3axy'        | Wird so gemeint sein (?) 

Das sieht nach einer impliziten Ableitung nach der Variablen x aus. 

Ausserdem wird angenommen, dass y von x abhängen kann. Also y eine zusammengesetzte Funktion g(x)  ist.

Denke dir

x³+(g(x))³=3ax*g(x)     | Ableitung nach x

3x^2 + 3(g(x))^2*g'(x) = 3a*g(x) + 3ax*g'(x)        | innere Ableitung , Produktregel

Lösung:     g(x) = y und g'(x) = y' ersetzen. 

3x²+3y²y'=3ay+3axy'

Comments

danke, ihr habt mir sehr geholfen :)

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Bitte. Gern geschehen!

Answer 2

x³+y³=3axy

implizit differenzieren:

3x² + 3y² • y' = 3a • y + 3ax • 1 • y'

wir differenzieren nach x und weil y von x abhängig ist, muss beim Ableiten eines y-Terms nach der Kettenregel immer mit der inneren Ableitung y' multipliziert werden.

Gruß Wolfgang