Hallo,
da haben wir gleich ein Problem: Die Bezeichnung in dem Satz sind andere als in der Aufgabenstellung. Ich halte mich mal an die Aufgabe.
Gegeben ist \(g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(g(x,y):=x^3-x+y^3+y\). Es geht um die Auflösung der Gleichung \(g(x,y)=0\) nach y. Der Satz über implizite Funktionen sagt nun: Wenn für einen Punkt \((x_0,y_0)\) gilt: \(g(x_0,y_0)=0\) und \(D_yg(x_0,y_0) \neq 0\) (das hast du nicht erwähnt!). Dann gibt es eine Funktion f mit \(g(x,f(x))=0\). Diese ist allerdings eventuell nur in einer kleinen Umgebung von \(x_0\) definiert und differenzierbar.
Diese Aufgabe hat noch eine weitere spezielle Eigenschaft: g ist bezüglich y streng monoton wachsen von \(-\infty\) bis \(\infty\). Daher ist f auf ganz \(\mathbb{R}\) eindeutig definiert.
In der Aufgabe ist \(D_yg(x,y)=3y^2+1\). Dies ist zufällig überall ungleich 0, deshalb ist die Gleichung in jeder Umgebung von Punkten \((x_0,y_0)\) mit \(g(x_0,y_0)=0\) mit einer solchen Funktion f auflösbar. Die von Dir angegebene Formel für die Ableitung von f sagt nun:
$$f'(x)= -\frac{D_x g(x,f(x))}{D_yg(x,f(x))}=-\frac{3x^2-1}{3f(x)^2+1}$$
Der Witz an der Formel ist, dass man sie aufstellen kann, ohne die Funktion f explizit zu kennen. Mann kann daran aber ablesen, dass zum Beispiele die Nullstellen von f die in b) gegebenen Werte sind.
Man braucht sich diese Formel nicht auswendig lernen. Sie folgt auch "direkt" durch differenzieren:
$$0=g(x,f(x)) \Rightarrow 0=\frac{d}{dx}(x^3-x+f(x)^3-f(x))=3x^2-1+(3f(x)^2+1)f'(x)$$
("Implizites Differenzieren")
Indem Du dieses Ergebnis noch einmal implizit differenzierst, kann Du auch eine Formel für die zweite Ableitung von f herleiten(, die die Terme f(x) und f'(x) enthält).
