Berechnen Sie die Ableitung f'(x) der Auflösungsfunktion f(x) durch implizites Differenzieren und zeigen Sie, dass f …

Question

Aufgabe:

Die Funktion g: ℝ² -> ℝ sei definiert durch: x³ - x + y³ + y

a) In welchen Punkten (x,y) ∈ ℝ² ist die Gleichung g(x,y) = 0 nach y durch eine Funktion y = f(x) auflösbar?

b) Berechnen Sie die Ableitung f'(x) der Auflösungsfunktion f(x) durch implizites Differenzieren und zeigen Sie, dass f stationäre/kritische Punkte in x = + und - 1/sqrt(3) besitzt.

c) Berechnen Sie durch implizites Differenzieren f''(x) und bestimmen Sie die Art des Extremums in x = + und - 1/sqrt(3)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe bei dieser Aufgabe nur Bahnhof, kann mir jemand einen Ansatz liefern?

Liebe Grüße

Comments

Ansatz: Schau mal in Euer Lehrmaterial unter "implizite Funktion"

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Ich verstehe das implizite Differenzieren leider überhaupt nicht. Für die a) muss ich die Funktion g nur nach y umstellen, oder?

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Bist du sicher, dass du die Funktion korrekt angegeben hast?

Ich würde eine Art Gleichung erwarten, etwa so:$$F(x;y)=x^3-x+y^3+y=0$$

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Für die a) muss ich die Funktion g nur nach y umstellen, oder?

Du meinst: Die Gleichung g(x,y)=0 nach y umstellen! Wenn das (einfach) möglich wäre, könnte man die Aufgabe damit lösen.

Der Satz über implizite Funktionen hilft Dir weiter, wenn diese Möglichkeit nicht besteht. Du solltest die wesentlichen Punkte dieses Satzes hier einstellen, damit wir anhand Eurer Formulierungen die Lösungen erarbeiten können.

Aber sicher wird auch gleich jemand eine abschreibfertige Lösung hier einstellen.

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@Tschakabumba: Entschuldigung, ...sei definiert durch g(x,y) = ...

der Rest stimmt aber, = 0 wurde nicht gesetzt.

@Mathhilf:

f(x,g(x)) = 0 für alle x ∈ V₁

D_g(x) = - D_yf(x, g(x))^-1  D_xf(x, g(x)).

Beachte: Ist (x,y) ∈ V1 x V2 mit f(x,y) = 0, so folgt schon y = g(x).

Ich habe jetzt den theoretischen, verbalen Teil weggelassen.

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Ah, dankeschön, ich les mir mal die Antwort von Mathilf durch.

Answer 1

Hallo,

da haben wir gleich ein Problem: Die Bezeichnung in dem Satz sind andere als in der Aufgabenstellung. Ich halte mich mal an die Aufgabe.

Gegeben ist $g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $g(x,y):=x^3-x+y^3+y$. Es geht um die Auflösung der Gleichung $g(x,y)=0$ nach y. Der Satz über implizite Funktionen sagt nun: Wenn für einen Punkt $(x_0,y_0)$ gilt: $g(x_0,y_0)=0$ und $D_yg(x_0,y_0) \neq 0$ (das hast du nicht erwähnt!). Dann gibt es eine Funktion f mit $g(x,f(x))=0$. Diese ist allerdings eventuell nur in einer kleinen Umgebung von $x_0$ definiert und differenzierbar.

Diese Aufgabe hat noch eine weitere spezielle Eigenschaft: g ist bezüglich y streng monoton wachsen von $-\infty$ bis $\infty$. Daher ist f auf ganz $\mathbb{R}$ eindeutig definiert.

In der Aufgabe ist $D_yg(x,y)=3y^2+1$. Dies ist zufällig überall ungleich 0, deshalb ist die Gleichung in jeder Umgebung von Punkten $(x_0,y_0)$ mit $g(x_0,y_0)=0$ mit einer solchen Funktion f auflösbar. Die von Dir angegebene Formel für die Ableitung von f sagt nun:

$$f'(x)= -\frac{D_x g(x,f(x))}{D_yg(x,f(x))}=-\frac{3x^2-1}{3f(x)^2+1}$$

Der Witz an der Formel ist, dass man sie aufstellen kann, ohne die Funktion f explizit zu kennen. Mann kann daran aber ablesen, dass zum Beispiele die Nullstellen von f die in b) gegebenen Werte sind.

Man braucht sich diese Formel nicht auswendig lernen. Sie folgt auch "direkt" durch differenzieren:

$$0=g(x,f(x)) \Rightarrow 0=\frac{d}{dx}(x^3-x+f(x)^3-f(x))=3x^2-1+(3f(x)^2+1)f'(x)$$

("Implizites Differenzieren")

Indem Du dieses Ergebnis noch einmal implizit differenzierst, kann Du auch eine Formel für die zweite Ableitung von f herleiten(, die die Terme f(x) und f'(x) enthält).

Comments

Dankeschön. Bis zur ersten Ableitung habe ich es verstanden. Wie mache ich denn jetzt weiter, um die kritischen Punkte zu zeigen, bei 1/sqrt(3) ?

Bis zu welchem Aufgabenteil hätte ich die Aufgabe jetzt gelöst, mit dem Teil bis zur ersten Ableitung, die du angegeben hast?

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nette Aufgabe! Unten im Bild sieht man die 'Höhenlinien' der Funktion $g(x,y)$ von $g=-6$ bis $g=+6$ jeweils im Abstand von $\Delta g = 3$.

Die Steigung $f'(x)$ berechne ich so, wie von Mathhilf beschrieben und zeige sie mit dem grünen Streckenstück an. Den schwarzen Punkt kann man mit der Maus verschieben.

Die senkrechten gestrichelten Linien markieren $x_{1,2}=\pm1/\sqrt 3$.

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Aber was mache ich denn per Hand nun als nächstes, nach der Ableitung f'(x) ?

Ich habe gerade versucht, 1/sqrt(3) in die Ableitung f'(x) einzusetzen, aber ich weiß ja gar nicht, was f(x) ist, um es in den Nenner einzusetzen. Oder ist damit g(x) gemeint?

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b) ist doch erledigt. Wenn Du $x=\pm1/\sqrt 3$ in $f'(x)$ kommt 0 heraus egal welchen Wert $y=f(x)$ annimmt.

zu c): Um die Art des Extremum zu bestimmen, betrachtet man die zweite Ableitung. Also leite doch $f'(x)$ noch einmal ab (nach der Quotientenregel und $3y^2$ nach der Kettenregel):$$f'(x)=-\frac{3x^2-1}{3y^2+1} \\ f''(x) = - \frac{6x(3y^2+1)- (3x^2-1)(6yy')}{(3y^2+1)^2}$$im weiteren geht es doch nur um das Vorzeichen von $f''(1/\sqrt 3)$. Der Nenner des Bruches ist immer positiv und $\gt 0$; den können wir also vergessen. $y'$ an der Stelle des kritischen Punktes ist $0$. Also bleibt$$\operatorname{sgn}\left(f''\left(x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt 3}\right)\right) = \operatorname{sgn}\left(-6x_{1,2}\underbrace{(y^2+1)}_{\gt 0}\right)$$D.h. das Vorzeichen von $f''(x)$ hängt an dieser Stelle nur vom Vorzeichen von $x$ ab. Ist $x=+1/\sqrt 3\gt0$ dann ist $f''(+1/\sqrt 3) \lt 0$ - also liegt hier ein Maximum vor und im anderen Fall ein Minimum.

Und wenn Du Dir das Bildchen in meinem letzten Kommentar anschaust, so kann man das auch gut sehen.

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Ich verstehe irgendwie nicht, wie du auf die zweite Ableitung kommst. Kann ich das auch so ableiten, wenn y = f(x) noch drin steht?

Ich verstehe nicht, wie du im Zähler auf -(3x²-1) * ... kommst. Der nenner abgeleitet nach x ist doch 0. Und 0 * den normalen Zähler ergibt 0. (Quotientenregel)

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Bzw. wie kommt man im Zähler auch auf 6y*y' ?

man leitet ja anscheinend nach x und y gleichzeitig ab. Bzw. wenn ich den Nenner nach y ableite, dann krieg eich doch nur 6y raus. Woher kommt das y' ?

Ah, ich habs. Wenn ich zuerst mit f'(x) nochmal ableite, indem ich y = f(x) drin lasse. Und dann am ende erst zurück substituiere.

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man leitet ja anscheinend nach x und y gleichzeitig ab. Bzw. wenn ich den Nenner nach y ableite, dann krieg eich doch nur 6y raus. Woher kommt das y' ?

es wird nur nach $x$ abgeleitet. Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist schlicht $y'$. Ansonsten gilt Ketten- und Quotientenregel beim Ableiten.$$f'(x)= -\frac{3x^2-1}{3y^2+1} = - \frac{u}{v} \\ f''(x)= - \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ u= 3x^2-1 \implies u'=6x \\ v= 3y^2 + 1 \implies v'= 6yy'$$Bei der Ableitung des Nenners $v$ komt die Kettenregel zum Tragen. Wenn$$v = 3(g(x))^2 + 1$$dann ist die Ableitung von $v$ nach $x$$$v' = 6g(x)\cdot g'(x)$$