Implizites Differenzieren

Question

Ein paar Aufgaben gingen, diese wiederum mal wieder nicht - ausgerechnet die letzte für heute.

Sorry, Anstand, nochmals.

Man soll annehmen, dass x und y durch die nachfolgende Gleichung in Beziehung stehen und man soll das implizite Differenzieren nutzen, um f'(x) = y' zu bestimmen.

3x³ + y = 3y³ + x

bei einer ähnlichen Aufgabe, wo man 5x² - 3y² = 6 hatte, konnte man einfach auf beiden Seiten nach x ableiten und erhielt dann rechts 0 - aber wie gehe ich nun bei der vor? Da bleibt ja dann nicht nur 0 stehen.

Ich hoffe ich konnte es verständlich formulieren, ich sehe da irgendwie keinen Weg voran.

Danke auf jeden Fall für die Hilfe.

Answer 1

ableiten wie immer, aber daran denken, dass \( y = y(x) \) gilt, \( y \) also wie eine Funktion behandelt werden muss.

$$ 3x^3+y = 3y^3+x $$

$$ 9x^2+y' = 9y^2y'+1 $$

$$ 9x^2-1 = 9y^2y' - y' $$

$$ {9x^2-1 \over 9y^2 - 1} = y' $$

Grüße,

M.B.

Comments

So geht es auch:

\( f(x,y)=3x^3+y - 3y^3-x \)

\( f_x(x,y)=9x^2-1 \)

\( f_y(x,y)=1 - 9y^2 \)

\(f'(x)= -\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}= -\frac{9x^2-1}{1 - 9y^2}=\frac{1-9x^2}{1-9y^2}=\frac{9x^2-1}{9y^2-1} \)