Aufgabe Satz von der impliziten Funktion: Voraussetzungen, Jacobimatrix durch implizites Differenzieren

Question

Hallo,

ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich habe folgende Lösungsansätze, bin mir aber nicht sicher ob sie richtig sind.

Ansätze:

1. Falsch, Der Satz ist an der StelleP(2,1,1) nicht anwendbar da F(2,1,1) = (2,2)'

2. Falsch Df(x1) = -DF(y1,y2)^-1*DF(x1)

3. Richtig. Hier wurde die erste Matrix einfach schon invertiert.

4. Falsch, weil 5. richtig. Vorzeichen der Teilfunktionen vertauscht.

5. Richtig. Ich stelle die Teilfunktionen von F(x1,y1,y2) jeweils auf explizit auf y1 und y2 um und setze dann in Df(x1) ein. Gleichzeitig prüfe ich auch F(√2,1,-1)=0, was wahr ist.

6. Richtig: Die Jacobimatrix DF(y) ist nicht invertierbar, wenn die det(Fy)=0 det(Fy)= -2*y1 - 2*y^2. Daher wird sie nur im Punkt P=(0,0) nicht invertiebar.

Danke fürs weiterhelfen! :D

Text erkannt:

- Betrachten Sie die Funktion \( F: \mathbb{R}^{1+2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch
\( F\left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right)=\binom{\left(x_{1}\right)^{2}-\left(y_{1}\right)^{2}-1}{\left(x_{1}\right)^{2}-\left(y_{2}\right)^{2}-1} \)

Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass wir an den jeweiligen Punkten \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right) \) die durch \( F\left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right)=0 \) implizierte Funktion
\( f\left(x_{1}\right)=\binom{y_{1}\left(x_{1}\right)}{y_{2}\left(x_{1}\right)} \)
untersuchen. Welche Aussagen sind wahr?
1. Der Satz über Implizite Funktionen ist an der Stelle \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right)=(2,1,1) \) anwendbar.
2. An allen Punkten \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right) \) an denen die Voraussetzungen des Satzes über die impliziten Funktionen erfüllt sind, ist \( D f\left(x_{1}\right) \) gegeben durch
\( D f\left(x_{1}\right)=\binom{\frac{x_{1}}{2 y_{1}}}{\frac{x_{1}}{2 y_{2}}} \)
3. An allen Punkten \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right) \) die Voraussetzungen des Satzes über die impliziten Funktionen erfüllt sind, ist \( D f\left(x_{1}\right) \) gegeben durch
\( D f\left(x_{1}\right)=-\left(\begin{array}{cc} \frac{-1}{2 y_{1}} & 0 \\ 0 & \frac{-1}{2 y_{2}} \end{array}\right)\binom{2 x_{1}}{2 x_{1}} . \)
4. In der Nähe des Punktes \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right)=(\sqrt{2}, 1,-1) \) ist
\( D f\left(x_{1}\right)=\left(\frac{\frac{-x_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}\right)^{2}-1}}}{\frac{x_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}\right)^{2}-1}}}\right) . \)
5. In der Nähe des Punktes \( \left(x_{1}, y_{1}, y_{2}\right)=(\sqrt{2}, 1,-1) \) ist
\( D f\left(x_{1}\right)=\left(\frac{\frac{x_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}\right)^{2}-1}}}{\frac{-x_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}\right)^{2}-1}}}\right) . \)
6. Es gibt nur eine Stelle \( \left(x_{1}^{*}, y_{1}^{*}, y_{2}^{*}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) sodass die Jacobimatrix \( D_{y} F\left(x_{1}^{*}, y_{1}^{*}, y_{2}^{*}\right) \) nicht invertierbar ist.

Answer 1

Vieles ist richtig gemeint, aber falsch argumentiert.

1. Ja, falsch, aber nicht weil \(F(2,1,1)=(2,2)'\) ist, sondern weil \(F(2,1,1)\neq (0,0)'\) ist.

2. Ja, falsch, aber nicht weil irgendeine allgemeine Formel gilt, sondern weil z.B. aus \(F(x_1,f(x_1))=(0,0)'\) folgt \(Df(x_1)=...\neq ...\).

3. Ja, richtig, folgt direkt aus 2.

4., 5. Ja, genau, einfach einsetzen, umstellen, ableiten. Darauf achten, dass man dem Punkt entsprechend den richtigen Fall der Wurzel verwendet. Und als Begründung nicht nur sagen, sondern auch die Rechnung präsentieren.

Bis hierhin geht übrigens alles ohne Jacobi-Matrizen.

6. Bei der Det komme ich auf was anderes (Tippfehler?), und im Ergebnis auch, weil ja nach Punkten in \(\R^3\) gefragt ist.

Comments

Hallo,

danke für deine Hilfe!

Zu 6.: Bei genauerer Überlegung ist mir nicht ganz klar was mit DyF(x1*,y1*,y2*) überhaupt gemeint ist? Was ist Dy überhaupt? Wir haben ja bisher immer nur DF und Df verwendet.

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\(DF\) ist hier eine 2x3-Matrix, \(D_yF\) ist die 2x2-Teilmatrix davon, wobei \(y=(y_1,y_2)\). Es werden eben nur die Ableitungen nach \(y\) betrachtet, nicht alle partiellen Ableitungen.

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Meine D_yF wäre also:

\( \begin{pmatrix} -2*y_{1} & 0 \\ 0 & -2*y_{2} \end{pmatrix} \) und damit die Determinante

det(D_yF)= -2*y₁*-2*y₂=4*y₁*y_2. Und damit wäre sie 0 entweder wenn y₁ = 0 oder y₂=0. D.h. es gibt nicht nur einen Punkt, in dem sie nicht invertierbar ist und 6 wäre somit auch falsch?

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\(D_yF\) stimmt, bei der Determinante fehlen Klammern. Zur Begründung, dass es mehr als einen Punkt gibt (falls das so ist), gib konkret zwei Punkte an. Beachte auch meinen obigen Hinweis zu 6.