Bestimmung der Ableitung einer impliziten Funktion

Question

Aufgabe: Ableitung einer impliziten Funktion

Problem/Ansatz:

Es ist gegeben:

f:R²→R, g:R→R,

f(x,g²(x))=x² für alle x aus R

g(a)=1 (a aus R)
partielle Ableitung von f nach der ersten Variablen: D1f(a,g²(a))=1
partielle Ableitung von f nach der zweiten Variablen: D2f(a,g²(a))=2

Gesucht ist g‘(a)=?

Als Tipp hat man bekommen, dass man die Ketten- und Produktregel anwenden soll ähnlich wie bei der
Herleitung der Auflösefunktion beim Satz der impliziten Funktion. Allerdings komme ich hier nicht zum gewünschten Ergebnis.

Mein Weg sieht bis jetzt wie folgt aus:

D[f(x,g²(x))] = 2x

<=> Df(x,g²(x)) * D[g²(x)] = 2x

<=> Df(a,g²(a)) * D[g²(a)] = 2a

<=> ( 1  2) * 2*g(a) * g'(a) = 2a

<=> ( 2  4) * g'(a) = 2a

<=> g'(a) = (2   4)^-1 * 2a

Das kann aber nicht richtig sein, da (2   4) nicht invertierbar ist.

Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe oder den richtigen Weg erklären?

und Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

Du brauchst eine Variante der mehrdimensionalen Kettenregel, nämlich:

$$\frac{d}{dx}F(p(x),q(x))=\partial_1F(p(x),q(x))p'(x)+ \partial_2F(p(x),q(x)) q'(x)$$

oder in Matrizenschreibweise:

$$\frac{d}{dx}F(p(x),q(x))=\begin{pmatrix} \partial_1F(p(x),q(x)) & \partial_2F(p(x),q(x)) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p'(x) \\ q'(x) \end{pmatrix}$$

In Deinem Fall ist einfach \(p(x)=x\) und \(q(x)=g(x)^2\)

Gruß

Answer 2

Aloha :)

$$0=f(x,g^2(x))-x^2\quad\text{für alle }x\in\mathbb R$$$$0=df=\partial_1f(x,g^2(x))\,dx+\partial_2 f(x,g^2(x))\,d(g^2(x))-2x\,dx$$$$\phantom{0}=\partial_1f(x,g^2(x))\, dx+\partial_2 f(x,g^2(x))\,2g(x)\,g'(x)\,dx-2x\,dx$$$$\phantom{0}=\partial_1f(x,g^2(x))+\partial_2 f(x,g^2(x))\,2g(x)\,g'(x)-2x$$$$g'(x)=\frac{2x-\partial_1f(x,g^2(x))}{2\partial_2f(x,g^2(x))\,g(x)}$$$$g'(a)=\frac{2a-\partial_1f(a,g^2(a))}{2\partial_2f(a,g^2(a))\,g(a)}=\frac{2a-1}{2\cdot2\cdot1}=\frac{a}{2}-\frac{1}{4}$$