Bestimmen Sie mit Hilfe der impliziten Differentiation

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mit Hilfe der impliziten Differentiation y'(1) d.h. x0=1 für Punkte im ersten Quadranten, die der algebraischen Gleichung

x^2+4y^2=5 gehorchen. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.

Problem/Ansatz:

Die Lösung der Skizze habe ich zwar gegeben, jedoch habe ich keine Ahnung wie man darauf kommt.

Mein errechneter Ansatz lautet:

f'(x)= 2x+8y*4\( \frac{dy}{dx} \)=0

-> 2x+32y*\( \frac{dy}{dx} \)=0

->\( \frac{dy}{dx} \)=\( \frac{-x}{16y} \)

jetzt die Frage: muss ich jetzt für x oder y eine 1 einsetzten oder muss ich überhaupt noch irgendwas einsetzen?

Comments

Edit: scheinbar habe ich 4y^2 schon falsch abgeleitet, verstehe nicht wieso:

4y^2:

g=^2

g'=2*h^1

h=4y

h'=4 \( \frac{dy}{dx} \)

also: 2*4y*4\( \frac{dy}{dx} \) =32y\( \frac{dy}{dx} \) ?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion$$f(x;y)\coloneqq x^2+4y^2=5=\text{const}$$ist für alle \(x\)-Werte und \(y(x)\)-Werte konstant. Also muss ihr totales Differential null sein. Dieses können wir mit Hilfe der Kettenregel bestimmen:$$0\stackrel!=df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=2x+8y\cdot y'(x)$$Damit haben wir die erste Ableitung:$$y'(x)=-\frac{x}{4y(x)}$$

Speziell an der Stelle \(x=1\) gilt:$$f(1;y(1))=1^2+4y^2(1)=5\implies 4y^2(1)=4\implies y(1)=\pm1$$Da wir nur die Ableitungen im ersten Quadranten betrachten sollen, fällt die \((-1)\) als Lösung aus und es gilt:$$y'(1)=-\frac{1}{4y(1)}=-\frac{1}{4\cdot(+1)}=-\frac14$$

Comments

ok vielen dank erstmal.

\(0\stackrel!=df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=2x+8y\cdot y'(x)\) ist diese formel allgemein gültig oder nur für die aufgabe?

also die methode ist mir neu, aber das heißt ich muss eigentlich nur die ableitung von x und y bilden. hinter jedes y noch ein x, dann nach dy/dx umstellen und Wert einsetzten ?

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Das ist die sog. implizite Differentation. Wenn du eine Funktion \(f(x;y)=\text{const}\) hast. muss deren totales Differential immer gleich \(0\) sein. Das ist die Grundidee dahinter. Der Ablauf ist dann immer gleich, du bildest mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung und stellst die entstehende Gleichung nach der Ableitung um, die gesucht wird. Eigentlich müsste die Rechnung von oben vollständig so aussehen:

$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}$$Jetzt solltest du die Kettenregel erkannt haben. Da aber \(\frac{dx}{dx}=1\) ist und \(y\) nur von \(x\) abhängt, also \(\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{dy}{dx}=y'(x)\) gilt, kannst du das umformen zu:$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(x)$$

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ok und was bedeutet die partielle Ableitung von f im Zähler? also die fällt ja weg oder so ?

Als Lösung kommt ja dann das raus?

partiale ableitung x +partiale ableitung y * \( \frac{dy}{dx} \) 

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Die partiallen Abletungen kannst du jetzt ebrechnen:

$$0\stackrel!=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}}_{=2x}+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{=8y}\cdot y'(x)$$und dann die Gleichung nach \(y\) umstellen.

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ja das habe ich soweit verstanden aber in der Formel steht ja noch partielle ableitung der funktion im zähler jeweils. und das verstehe ich nicht.

weil sosnt könnte die formel ja auch einfach so heißen:

partiale ableitung x +partiale ableitung y * \( \frac{dy}{dx} \)

Answer 2

x^2+4y^2=5     für x=1  → 1^2+4y^2=5     y₁→1  oder  y₂=-1 (entfällt, weil im 4.Quadranten gelegen )

Falls keine implizite Differentiation verlangt ist:

x^2+4y^2=5   mit  y'(1)

4y^2=5-x^2     →  y^2=\( \frac{5}{4} \)-\( \frac{1}{4} \)x^2

\( y(x)=\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{4} x^{2}} \rightarrow \) Graph liegt im \( 1 . \) und \( 2 . \) Quadranten
\( y^{\prime}(x)=\frac{-\frac{1}{2} x}{2 \sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{4} x^{2}}}=\frac{-\frac{1}{4} x}{\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{4} x^{2}}} \)
\( y^{\prime}(1)=\frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}}=-\frac{1}{4} \)