Hilfe bei der impliziten Differentiation

Question

Die explizite Differentiation, so wie man es vielleicht noch aus der Schule kennt ist ja bspw. f(x) = 2x+4-3. Kurz gesagt: Ich habe in meiner Funktion immer nur eine Variable.

Durch das Thema impliziertes differenzieren steige ich noch nicht ganz durch. Wenn ich das richtig verstanden habe, habe ich also eine Funktion, die nun von mehr als einer Variable abhängt.

Gegeben sei folgende Gleichung: y³+3x²y = 13. Diese Gleichung kann jetzt also nicht als Funktion von einer abhängigen Variablen dargestellt werden. Eigentlich soweit logisch, sie enthält ja schließlich auch neben dem x noch ein y. 

Durch ein paar Recherchen habe ich zumindest rausgefunden, dass man zunächst nach einer der Variablen ableitet, bzw. das man eine Variable durch eine neue Funktion ausdrückt. Soll das heißen, ich betrachte zunächst beide Seiten der Gleichung getrennt? Die Ableitung der rechten Seite wäre somit 0, da 13 eine Konstante ist.

Die linke Seite kann ich nun also wie folgt ausdrücken:

f(x) = y³+3x²y wobei die vorherige Variable y jetzt nur eine gewöhnliche Konstante darstellt?

Wenn ich die nun explizite Funktion ableite fällt doch y³ weg, da dies eine Konstante darstellt, die additiv mit dem Rest verbunden ist. In der Lösung wird y³ aber mit der Kettenregel abgeleitet.

Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen würde :-)

Answer 1

Die linke Seite kann ich nun also wie folgt ausdrücken:
f(x) = y³+3x²y wobei die vorherige Variable y jetzt nur eine gewöhnliche Konstante darstellt?

Nein, y ist keine freie Variable oder gar eine Konstante, sondern eine von x abhängige Funktion.

Man könnte

y ³ + 3 x ² y  = 13

also auch schreiben als:

( y ( x ) ) ³ + 3 x ² y ( x ) = 13

Und wenn man nun differenzieren will, dann muss man y eben als Funktion von x differenzieren, also mit Hilfe der Kettenregel bzw. der Produktregel:

[ ( y ( x ) ) ³ + 3 x ² y ( x ) ] ' = [ 13 ] ' = 0

<=> y ' ( x ) * 3 * ( y ( x ) ) ² + 6 x * y ( x ) + 3 x ² * y ' ( x ) = 0

Nun y ' ausklammern:

<=> y ' ( x ) ( 3 * ( y ( x ) ) ² + 3 x ² ) + 6 x * y ( x ) = 0

<=> y ' ( x ) ( 3 * ( y ( x ) ) ² + 3 x ² ) = - 6 x * y ( x )

<=> y ' ( x ) = ( - 6 x * y ( x ) ) / ( 3 * ( y ( x ) ) ² + 3 x ² )

Answer 2

Du möchtest gerne die implizierte Funktion ableiten:

y^3 + 3·x^2·y = 13

Du definierst dir die Nullstellenfunktion

F(x, y) = y^3 + 3·x^2·y - 13

und leitest die jetzt partiell nach x und y ab.

Fx(x, y) = 6·x·y

Fy(x, y) = 3·x^2 + 3·y^2

Nun ist die Ableitung deiner Funktion

y' = - Fx(x, y) / Fy(x, y) = - 6·x·y / (3·x^2 + 3·y^2)

Comments

Danke für die Antworten. Kann ich jede implizierte Funktion nach dieser Methode ableiten? Irgendwie scheint mir das auf den ersten Blick nachvollziehbarer zu sein.
Ich bringe also erstmal alle Ausdrücke von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite und habe somit eine Nullstellengleichung. Dann leite ich einmal nach x und einmal nach y ab. That's it?

Ist das - vor der - 6·x·y fest definiert? Weil in der Ableitung taucht es ja zuerst nicht auf.

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Lies dir mal folgende Seite durch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Das sollte deinen Fragen klären.

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Den Wiki Artikel hatte ich mir auch durchgelesen, so wirklich schlau bin ich daraus leider nicht geworden.

Dabei ist mir nur aufgefallen, dass ich die Methode aus dem ersten Beispiel des Wiki Artikels beim logarithmischen differenzieren bereits angewendet habe. (siehe https://www.mathelounge.de/121887/logarithmische-differentiation-bestimmen)

 

Nehmen wir mal ein leichteres Beispiel:

xy = 5 soll abgeleitet werden. Statt y kann ich doch auch f(x) schreiben.

Also x*f(x) = 5

Die Ableitung beider Seiten ergibt:

1*f(x)+x*f'(x) = f(x) + xf'(x)

=

f(x) + xf'(x) = 0 I -f(x)

x*f'(x) = -f(x) I :x

f'(x) = -f(x)/x

Das ist also meine Ableitung der Gleichung xy = 5, was mir soweit auch keine Probleme bereitet. Bei der ursprünglichen Gleichung 

y³ + 3·x²·y 

Kann ich dann also f(x)^3 + 3* x^2 * f(x) schreiben?

ich bin mir unsicher wie ich f(x)^3 ableite. f(x) ist ja einfach f'(x), wäre die Ableitung von f(x)^3 dann 3f'(x)^2 ? 

Bitte entschuldigt mein langsames Verständnis dieser Dinge

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Habs verstanden und meinen Fehler gefunden. Ich habe f(x)³ nicht korrekt abgeleitet und nicht bemerkt, dass es sich ja sozusagen um eine innere Funktion f(x) und eine äußere Funktion u³ handelt. 

Danke für die Hilfestellungen