ableiten von x^e^x^2

Question

Hallo mathelounge-Community,

beim lösen der Aufgabe bin ich auf folgende "veränderte" Ketten/potenzregel gestoßen

[U(x)^v(x)]'= u(x)^v(x)*[ln(u(x))*v(x)]'

Mithilfe dieser "Regel"( sofern sie korrekt ist) und der Produktregistrierung für die Klammer könnte ich meine f(x)=x^e^x^2 problemlos ableiten.

Dennoch habe ich folgende Fragen:

1.) Stimmt diese oben genannte "ableitungsregel"?

2.) Woher kommt das ln(u(x))?

Answer 1

$$ u(x)^{v(x)}=e^{ln(u(x)^{v(x)})}=e^{v(x)\cdot ln(u(x))}$$ Mit $$x=e^{ln(x)}$$ und $$ ln(x^y)=y\cdot ln(x)$$ Dann ableiten:

$$\left(e^{v(x)\cdot ln(u(x))}\right)'= e^{v(x)\cdot ln(u(x))}\cdot ({v(x)}\cdot ln(u(x)))'=u(x)^{v(x)}\cdot ({v(x)}\cdot ln(u(x)))'$$

Gruss