Gemeinsamen Schnittpunkt berechnen

Question

ich habe 2 Funktionen gegeben:

f(x) = e^{x/4}

g(x) = x^2 - 2x + 1

in meiner Aufgabe muss ich nun die gemeinsamen Schnittpunkte berechnen. Ich weiß, dass ich die beiden Funktionen gleichsetzen kann, weil sie dann ja den gleichen y-Wert haben. Das heißt ich muss dann auf x umformen.

Gleichsetzung:

e^{x/4} = x^2 -2x + 1

Das Problem, dass ich jetzt habe ist, dass ich nicht weiß, wie ich zu dem x kommen soll..

Wenn ich beide Seiten logarithmiere bekomme ich zwar das (x/4) runter, aber auf der anderen Seite habe ich dann wieder ln(x^2 - 2x + 1)..

LG Julian

Answer 1

EXP(x/4) = x^2 - 2·x + 1

Man sieht eine Lösung für x = 0.

Näherungsweise bekommt man noch Lösungen bei x = 2.339727044 und x = 25.63254987

Comments

Danke für die rasche Antwort.

Wie haben Sie das Newton'sche Näherungsverfahren hier angewendet?

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Du suchst Nullstellen von

f(x) = e^{x/4} - x^2 + 2·x - 1 = 0

f'(x) = 0.25·e^{x/4} - 2·x + 2

xn+1 = x - (e^{x/4} - x^2 + 2·x - 1) / (0.25·e^{x/4} - 2·x + 2)

Ausgehend von einem x kann man hier also iterierend weitere Lösungen finden. Gute Taschenrechner haben das Verfahren allerdings integriert. Da brauchst du nichts mehr machen.

Answer 2

e^x/4 = x² -2x + 1

~plot~ e^{x/4} ; x^2 - 2*x + 1 ~plot~

Comments

Der Graph zeigt  2 Schnittpunkte
x = 0 ( exakt )
und
x = 2.3 ( ungefähr )

Ich wüßte nur für den 2.Wert
- das Newton-Verfahren um die Genauigkeit zu steigern
bzw
- ein Herantasten an einen genaueren Wert.

mfg Georg

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Danke für die rasche Antwort.

Wie kann ich mich mit Hilfe des Newton'schen Näherungsverfahren hier herantasten?

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Da die Exponentialfunktion langfristig schneller Steigt als eine Polynomfunktion erwartet man hier wohl noch einen Schnittpunkt. Der nur am Anfang in der Skizze nicht sichtbar ist.

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Kennst du den das Newtonverfahren ?
Das ist relativ kompliziert und kann im Rahmen dieser Aufgabe nicht
erklärt werden.

Setze einfach ein in
e^x/4 - ( x² -2x + 1 )

x = 2.3  => 0.087

Und berechne dies : 0 ist das Ziel.
Dann probier mit x = 2.4 => -0.1378

x = 2.31 => 0.065
x = 2.33 => 0.02
x = 2.34 => -0.0006

Ich würde x = 2.34 verwenden.

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Danke für die Antwort.

Nach genau dem habe ich gesucht.

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Mich interessiert noch : war das eine Einzelaufaufgabe aus einem Buch :
Schnittpunkt f und g bestimmen oder was ist der Zusammenhang ?
Am besten du könntest ein Foto einstellen.