Schubfachprinzip anwenden bei Summe: Gegeben seien n natürliche

Question

Hi, bräuchte auch bei dieser Aufgabe hilfe;

Comments

Was ist mit n=2, a₁=0 und a₂=1?

Answer 1

vermutlich fangen bei Euch die nat. Zahlen erst bei 1 an.

Dann geht es wohl so:

Die Menge { 1;2;...;n} hat 2^n verschiedene Teilmengen, ohne ∅ also

noch 2^n - 1.

Bilde zu jeder Teilmenge die Summe, dann erhältst du 2^n - 1

Summen , die alle kleiner oder gleich der Summe aller a_k sind,

also alle kleiner oder gleich 2^n -2 .

Wenn man nun 2^n -2 Schubladen mit den Zahlen von 1 bis 2^n - 2

beschriften würde und in jede Schublade die Indexmenge packt, deren

Summe dann auf der Schublade steht, hat man die 2^n - 1Indexmengen

auf die 2^n -2 Schubladen verteilt. Also gibt es mindestens eine

Schublade, die zwei verschiedene Indexmengen enthält. Die zugehörigen

Summen sind also gleich.

DerDurchschnitt der Indexmengen ist aber evtuell nicht leer.

Dann lassen wir aus beiden Summen diejenigen Summanden weg, deren

Index in der Schnittmenge liegt. Dann sind die Summen immer noch gleich.

Und die Restmengen sind nicht leer, denn sonst hätte die eine Indexmenge

Teilmenge der anderen sein müssen. Da alle Summanden > 0 sind, ist das aber

bei gleichen Summen nicht möglich.