Wie bestimme ich den Definitionsbereich und das Bild der Funktion?

Question

Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich D ⊆ ℝ und das zugehörige Bild der Funktionen f: D → R mit den folgenden Abbildungsvorschriften: 

$$ f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+3x+2 }{ { x }^{ 2 }+x-2 }  $$

Also, eigentlich sollte das gar nicht so schwer sein die Aufgabe, danke ich, oder?
Also als erstes habe ich die Definitionslücken auswindig gemacht:

Untersuchung des Zählers:

0=x²+x-2

x₁=1   ;   x₂=-2

Also Habe ich den Definitionsbereich wie Folgt Aufgeschrieben:

D=ℝ\{-2 ; 1}

Stimmt das so, oder muss ich da noch mehr beachten?

Und noch eine Frage: Ist mit Bild der Graph gemeint? Also wir hatte das mit dem Urbildern und so, aber ich hab das Fach abgewählt gehabt, und jetzt habe ich da eine Lücke, ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Einen wunderschönen Abend wüsche ich euch allen!

Answer 1

D = ℝ \ { 1 ; -2}

f(x) = [ (x+2) • (x+1)] / [ (x+2) • (x-1)]    =_D  (x+1) / (x-1)  =   2/(x-1) +1

Der Graph ergibt sich also aus der Hyperbel  2/ x durch Verschiebung um 1 nach rechts und um 1 nach oben und hat ein Loch  in (-2 | 1/3).

Bildmenge ℝ \ { 1; 1/3}

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Hilfe!
Also ist -2 gar keine Polstelle sondern eine Hebbare lücke? Oder was ist mich 'Loch' gemeint?

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Ja, hebbare Lücke in D bei x= -2 ergibt dort ein "Loch" im Graph. Die Polstelle ist x=1.

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Okay, ich danke dir!
Aber dennoch bleibt meine Frage offen, was es mit dem Bild von f auf sich hat. Ich habe mir Mathe für nicht Freaks durchgelesen zu diesem Thema, aber bin daraus nicht ganz schlau geworden :/