Bestimmen Sie Definitionsbereich, Bild und 1. Ableitung

Question

Aufgabe:

f(x) = x · |x|

Bestimmen Sie Definitionsbereich, Bild und 1. Ableitung von f.

Problem/Ansatz:

Definitionsbereich: ℝ

Was genau ist denn das Bild von f?

Und wie sieht die Ableitung aus?

Comments

vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+x*%7Cx%7C

Answer 1

Definitionsbereich ist richtig

Das Bild einer Funktion ist auch die Wertemenge. Also die Menge aller Werte, die die Funktion annehmen kann. Das wäre hier denke ich auch R oder gibt es Werte die nicht angenommen werden können?

Ableitung
f(x) = x·|x|

Getrennte Darstellung
f(x) = x^2 und f'(x) = 2x für x ≥ 0
f(x) = - x^2 und f'(x) = - 2x für x < 0

Damit erhält man
f'(x) = 2·|x|

Comments

Die Ableitung an der Stelle 0 muss gesondert behandelt werden.

Da sie sich aber als \(f'(0)=0\) herausstellt, kann man sie unter

den allgültigen Ausdruck \(2|x|\) subsumieren.