Es muss \( \begin{pmatrix}0\\0\\x_3\end{pmatrix} \) anstatt \( \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) heißen. Der Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene, weil die \(x_1\)- und die \( x_2 \)-Koordinaten Null sind.
Für den Schnittpunkt mit der \( x_1x_3 \)-Ebene muss auf der rechten Seite der Gleichung ein anderer Vektor stehen. Ich glaube, den kannst du jetzt aber selbst herausfinden.