Angabe steht unten zum Thema Vektoren.

Question

Gegeben sind die beiden Geraden g und h wie folgt:  g=AP  mit  A(0;-4;5)  und  P(12;12;-5)  sowie h: Vektor x = Vektor b + µ * Vektor v ,  µ ∈ R  mit  B(-6;-4;10)  und  Vektor v = (6 7 -5).                                                        a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte Q und R von g mit der x1x2- und x1x3-Ebene sowie S und T von h mit der x1x2- und x1x3-Ebene.                                                                                                         b) Zeichnen Sie die Geraden g und  h in ein Koordinatensystem.                                                                         c) Unterscuchen Sie die Lage von g zu h und geben Sie ggf. den Schnittpunkt an.

Answer 1

Schnittpunkt g mit x₁x₂-Ebene:

Löse das Gleichungssystem \( \vec{OA} + \gamma \cdot \vec{AP} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) nach \( \gamma \) auf und setze in \( \vec{OA} + \gamma \cdot \vec{AP}  \) ein.

Lage von g und h:

Löse das Gleichungssystem \( \vec{OA} + \gamma \cdot \vec{AP} = \vec{b} + \mu\cdot\vec{v} \).

• eindeutige Lösung ⇒ Die Geraden schneiden sich in einem Punkt
• unendlich viele Lösungen ⇒ Die geraden sind identisch
• keine Lösung ⇒ Die Geraden sind parallel oder windschief.

Comments

Danke schonmal für die Antwort! Wieso bei der x1x2-Ebene die Punkte (0;0;1) ? Und wie mache ich das bei der x1x3-Ebene?

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Es muss \( \begin{pmatrix}0\\0\\x_3\end{pmatrix} \) anstatt \( \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) heißen. Der Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene, weil die \(x_1\)- und die \( x_2 \)-Koordinaten Null sind.

Für den Schnittpunkt mit der \( x_1x_3 \)-Ebene muss auf der rechten Seite der Gleichung ein anderer Vektor stehen. Ich glaube, den kannst du jetzt aber selbst herausfinden.

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Ist da nicht eigentlich die x3 Koordinate = 0 bei der x1x2-Ebene?

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Ja stimmt, hast recht.