Begründen Sie, dass es für a,b∈ℕ keine kleinste Bruchzahl a/b gibt.

Question

Wie kann ich das begründen und wie gehe ich vor?

Seien a,b∈ℕ und es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b

EDIT: Überschrift redigiert.

Fragestellung gemäss Buch: Beweisen Sie, dass für a,b∈ℕ keine kleinste Bruchzahl a/b existiert.

Comments

Seien a,b∈ℕ und es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b

dann.....  ????

---

Also wir sollen Beweisen, dass es für a,b∈ℕ keine kleinste Bruchzahl existiert.

Als Hinweis meinten sie, dass wir überlegen sollen, ob das auch indirekt geht :/

---

in einem Buch steht der Hinweis: Zu jeder Bruchzahl a/ b finden Sie noch eine kleinere Bruchzahl, nämlich a/

b+1... den Hinweis verstehe ich aber leider nicht.

---

na ja    dieser Hinweis heißt ja nur, es ist immer

a/ (b+1)   < a/b 

Für zwei positive Bruchzahlen habt ihr ja "kleiner " vermutlich so definiert

x/y < u/v  ⇔ xv < yu

also prüfst du für  a/ (b+1)   < a/b 

ab < a*(b+1)

ab < ab + a

0 < a   also für alle a aus IN erfüllt.

oder bei meinem Beispiel

a/2b < a/b

ab < 2ab

0 < ab    ist auch für alle a aus IN erfüllt.

---

Wir haben die Kleinerrelation für Brüche noch gar nicht definiert. Uns ist nur diese Definition bekannt:

Ich probiere mal eben deinen Ansatz und melde mich dann gleich nochmal..

---

Hmm nee leider verstehe ich das überhaupt nicht...

Kann ich das nun eigtl. indirekt beweisen, dass es keine kleinste Bruchzahl a/b gibt?

Du sagst ja mit deinem Beispiel 0 < a .. also ist 0 kleiner a ...aber a ist doch kein Bruch und damit habe ich doch nicht begründet, dass es KEINE kleinste Bruchzahl a/b gibt ??!

---

wenn man keine Kleinerrelation für Brüche def. hat,

kann man ja auch nicht sagen was

"kleinste Bruchzahl" heißt.

Answer 1

ach so, fange an zu verstehen:

Ihr sollt zeigen:  Es gibt keine a,b∈ℕ so dass a/b die  kleinste Bruchzahl ist.

Angenommen es wären a,b∈ℕ so dass a/b = c  die  kleinste Bruchzahl ist.

dann wären allerdings a und 2b auch aus IN und es wäre a/2b < c im

Widerspruch zu "c ist die kleinste".

Comments

Also ich hätte jetzt so begonnen:

Zu zeigen: Es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b mit a,b∈ℕ

Annahme: Es gibt eine kleinste Bruchzahl a/ b+1 mit a,b∈ℕ

-> und nun fehlt mir der indirekte Beweis ??! Dieser müsste ja dann zum Widerspruch führen, sodass bewiesen ist, dass es keine kleinste Bruchzahl a/b gibt mir a,b∈ℕ

---

Zu zeigen: Es existiert keine kleinste Bruchzahl a/b mit a,b∈ℕ

Annahme: Es gibt eine kleinste Bruchzahl a/ b mit a,b∈ℕ

Du musst ja das Gegenteil der Beh. annehmen!

Dann gilt: a/(b+1) ist kleiner als a/b, also

Widerspruch; denn dann ist a/b nicht die kleinste.

---

ahh okay danke :) und gibt es noch einen Weg mit dem ich zeigen kann wie ich auf den  kleinsten Buch a/ (b+1) gekommen bin ?:0

---

Da kannst du ja sagen. " Ist en alter Hut, wenn man den Nenner größer macht, wird der Bruch kleiner."

---

könnte man dann nicht auch sagen a/ b*2 ????? Dann wird es ja nämlich auch größer

---

genau, das war ja meine 1. Idee.

---

Muss ich das dann verallgemeinern und statt a/b*2 bzw. a/b+1 jeweils a/b*n bzw. a/b+n schreiben?

---

ich würde mich für genau einen davon entscheiden, etwa a/(b+1).

---

danke :) Aufgabe gelöst ✓