Aufgabe 43
Wir definieren eine Funktion f : R → R wie folgt: Wir schreiben eine Zahl x ∈ R im Quinärsystem, also in einer 5-adische Darstellung, wobei wir die Ziffern mit 0, 1, +, −, · bezeichnen (statt 05, 15, 25, 35, 45)(die 5en stehen im index). Um Eindeutigkeit zu garantieren, soll die Periode · ausgeschlossen sein. (0.···.. ist nicht möglich, wir schreiben 1.000..) Sollte die Quinärdarstellung von x von der Gestalt sein, dass ab einer bestimmten Stelle ein + oder − von einer endlichen Anzahl von 0 und 1 gefolgt wird, darauf ein · folgt und in den darauf folgenden Ziffern nur noch 0 und 1 vorkommen, so interpretieren wir die Ziffernfolge ab dem + oder − als Binärzahl b und f(x) := b. Zum Beispiel f(· + +0 − 1000 · 00..) = −12020202.0202..(die 2en stehen im index) = −8 Ist x nicht von dieser spezifischen Form, dann definieren wir f(x) := 0.
a) Zeigen Sie, dass für jedes Intervall (a, b) ⊆ R mit a, b ∈ R, a < b gilt, dass f((a, b)) = R. Hinweis: Konstruieren Sie für jedes y ∈ R ein x ∈ (a, b), so dass f(x) = y. (5 Punkte)
b) Folgern Sie aus a), dass f nicht stetig ist.
