Extremwertaufgabe zur Flächenberchnung eines Dreiecks

Question

ich bin gerade mit der Abiturvorbereitung beschäftigt und komme bei einer Aufgabe von 1994 nicht weiter, bzw. finde auch keine vernünftigen Ansatz:

Die Gerade mit der Gleichung x=u (0 <= u <= 2) schneidet die Kurve K= 1/3x^3+x^2-2x-8/3 im Punkt R und die Kurve G=x^2-8/3 im Punkt S.
Für welches u wird die Fläche des Dreiecks RSO am größten?


ich weiß bisher nur, dass die Fläche A=1/2ab maximal werden soll. aber wie bekomme ich die Schnittpunkte der senkrechten Geraden mit den Funktionen? und woher weiß ich , ob ich Kathethen oder Hypotenusen heraus bekomme, wenn ich die Punkte habe?

Answer 1

Die Gerade mit der Gleichung x=u (0 <= u <= 2) schneidet die Kurve
K= 1/3x³+x²-2x-8/3 im Punkt R und die Kurve G=x²-8/3 im Punkt S.
Für welches u wird die Fläche des Dreiecks RSO am größten?

~plot~ -1/3 * x^3 + x^2 - 2*x - 8/3 ; x^2 - 8 / 3 ; x = 2 ~plot~

Comments

Eingezeichnet wurden die beiden Kurven und eine Gerade
x = 2.
Die Schnittpunkte R und S sind klar.
RSO verwirrt etwas. Da beide Kurven bei x = 0 im
-Achsenabschnitt  - 8 / 3 haben vermute ich diesen
Punkt als 3.Punkt im Dreieck.
Dreieck : Grundlinie mal Höhe.
Die Grundlinie ist die Differenz
g ( x ) - k ( x )
Die Höhe ist der Abstand dieser Geraden zum 3.Punkt O und
damit zur y-Achse und hat den Wert x.

A ( x ) = ( g ( x ) - k ( x ) ) * x / 2

Davon ist die 1.Ableitung zu bilden und der Extremwert
auszurechnen.

So.Ich hoffe alles stimmt.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Answer 2

A = 1/2·x·((1/3·x^3 + x^2 - 2·x - 8/3) - (x^2 - 8/3))

A' = 2·x·(x^2 - 3)/3 = 0 --> x = √3

Mach dir mal eine Skizze. Das sieht soweit auch gut aus denke ich.