Vollständige Induktion Det An=n!*(-1)^ (n*(n-1/2))

Question

Möchte folgendes durch vollständige Induktion beweisen:

Det A_n=n!*(-1)^ (n*(n-1/2))

Das ganze stimmt für n=1, aber dann? Wie mache ich weiter. Ich komme bei dem Schritt n+1 durcheinander. Kann mir das jemand zeigen?

(Nach der -1 steht alles im Exponenten.)

Comments

was ist denn die Behauptung ?

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Die Behauptung ist

DET An = n! * -1^n·(n-1)/2 

Es geht also um Determinanten.

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Aha,  und wenn man jetzt noch wüsste wie An aussieht, könnte

man vielleicht was erreichen.

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An sieht folgendermaßen aus:

An=(1  2  3  ...  n-1   n

1  2   3  ...  n-1   0

1  2   3  ...   0      0

.    .   .   ...    .       .

1  2  3  ...   0     0

1  2  0  ...    0    0

1  0  0 ...    0    0)

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EDIT: Wenn du mehrere Klammern im Exponenten hast, kannst du mit einem Abstand nach ^ verhindern, dass der Exponent nicht richtig dargestellt wird. Habe das oben so editiert, kann dir aber bei deinem Beweis auch gerade nicht helfen.

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Verwende im IS die Laplace-Entwicklung und/oder habe Geduld.

Answer 1

wenn du An und An+1 vergleichst , dann siehst du, dass beim Entwickeln von A_n+1 nach der letzten Spalte

gilt 

det(A_n+1) = (-1)^z+1 * (n+1) * det (A_n)

und dabei ist z+1 gerade, wenn z ungerade ist und umgekehrt

das passt zu z=n*(n-1)/2 . Und dann steht es doch da.