Taylorpolynom dritten Grades von f(x)=1/(2x), Entwicklungspunkt und Fehler schätzen

Question

Berechnen Sie das Taylorpolynom \( T_{3, f} \) dritten Grades zur Funktion

\( f(x)=\frac{1}{2 x} \)

um den Entwicklungspunkt \( x_{0}=1 \). Schätzen Sie den Fehler betragsmäßig nach oben ab, der bei Ersetzung von \( f \) durch \( T_{3, f} \) an der Stelle \( x \) für \( |x-1|<\frac{1}{2} \) entsteht.

Answer 1

f(x) = 1/2  *  1/x 

f ' (x) = 1/2 *  -1/x^2

f ''(x) = 1/2 * 2/x^3

f ' ' ' (x) = -6/x^4

also T_3,f(x)  = f(1) + f ' (1) * ( x-1) + ...

 = 1/2   -1/2 * ( x-1)  +  1/2! * ( x-1) ^2 - 6 / 3! * ( x-1) ^3

=  1/2   -1/2 * ( x-1)  +  1/2 *  ( x-1) ^2 -  ( x-1) ^3

und Fehlerabschätzung mit

f ⁽⁴⁾ (z) / 4 ! * ( x-1)^4

= 24/ ( z^5 * 4! ) * ( x-1)^4    wegen   differenz < 1/2

<    24/ ( z^5 * 4! ) * 1/16          z< 3/2 gibt z^5 < 243/32

<    24/ ( 4!*243/32 ) * 1/16 

= ...

Comments

die dritte Ableitung stimmt nicht ganz. Es sind 1/2*(-6)/x^4= -3/x^4