Hättstese mal besser gleich rein gestellt. Du hast also zwei Matrizen, die miteinander gar nix zu tun haben.
Deine Matrizen haben Blockgestalt; Spalte 2 kannst du weg lassen. Da wirkt sie quasi nur als Einheitsmatrix. So; und jetzt solltest du dich mal richtig gründlich schlau machen über ===> Paulimatrizen; mit denen hatte ich schon viel Freude. Weil als Messgrößen ===> Observablen in der QM sind die in jedem Fall Hermitesch.
( Ich kann auch Deutsch; nicht nur ihr mit eurem ewigen " Hocjpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht Observable, sondern Messgröße. )
Deine erste Matrix erinnert verdächtig an die Paulimatrix S1, die Messgröße " Spinkomponente in x_Richtung. )
Deine zweite Matrix ist S2; braucht an sich kein Mensch. Deshalb war ich extra so großherzig und habe für dich in Wiki das richtige Vorzeichen nachgesehen, das ja in Übereinstimmung sein muss mit den Konventionen über ===> Drehimpuls ( Ansonsten wär's auch egal. ) Deine zweite Matrix ist also ( - i S2 ) mit i = Wurzel ( - 1 )
S2 ist Hermitesch und damit natürlich diagonalisierbar. Dass du S1 und S2 ( bzw. anschaulicher: S1 und S3 ) nicht gleichzeitig diagonalisieren kannst. Du da führe ich jetzt mal mit dir einen Sokratischen Dialog.
Du weißt doch, dass der Elektronenspin - sagen wir in z-Richtung - nur die beiden quantisierten Einstellungen aufweist ( +1 ) = " Spin up " so wie ( - 1 ) = " down "
Aktion Sokrates: Du GLAUBST nur, dass du etwas verstanden hast. Sokrates hätte formuliert:
" Du weißt nicht, dass du nichts weißt. "
Besser finde ich
" Du weißt nicht einmal, dass du es nicht weißt. "
Jetzt gehst du her und misst den Spin nacheinander in Richtung x , y und z . Dann bekommst du doch nach Pythia und Goras als Resultierende in der Raumdiagonale " Spin Wurzel ( 3 ) " Widerspruch; wir hatten gerade gesagt: Es gibt nur Spin ( +/- 1 ) - up oder down. So etwas wie " Spin Wurzel ( 3 ) "gibt es nicht.
Die Quantisierungsregeln sind UNVEREINBAR MIT DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE .
Tjaa; was tun, sprach Zeus. Der Alte über den Wolken ist offenbar schlauer als du ...
===> Eugen Fi ck in seinem epochalen QM Lehrbuch hat die Situation ja so eindrücklich beschrieben.
Wir gucken Gott auf die finger und machen eine Kontrollmessung.
Erst x-Komponente; sagen wir du findest ( +1 ) Dann z ; dann nochmal x .
Nein das Elektron hat alles " vergessen " Mit Fifty-fifty bekommst du Plus oder Minus Eins.
JETZT auf einmal ist die Heisenberg Unschärfe plausibel; also wer jetzt noch mutmaßt, da wäre ein verborgener Trick, wie man das trotzdem umgehen kann - also ich weiß nicht ...
Ich hab mir eben den Wikiartikel über die Paulimatrizen mal angesehen. Mein unmaßgeblicher eindruck: Das Wesentlichste fehlt wieder.
Da die Eigenwerte ja ( +/-1 ) sind für up / down, hast du
S1 ² = S2 ² = S3 ² = 1 ( 1 )
Und da ja der Sinn des Ganzen Spin ist, kannst du sie vektoriell zusammen setzen:
S ( ß ) .= S3 cos ( ß ) + S1 sin ( ß ) ( 2 )
D.h. wir müssen fordern, dass auch S ( ß ) eine PAULIMATRIX ist; ihre Eigenwerte sind ( +/- 1 )
S ² ( ß ) = 1| = S3 ² cos ² ( ß ) + S1 ² sin ² ( ß ) + ( S1 S3 + S3 S1 ) sin ( ß ) cos ( ß ) = ( 3a )
= [ cos ² ( ß ) + sin ² ( ß ) ] 1| + ( S1 S3 + S3 S1 ) sin ( ß ) cos ( ß ) ( 3b )
wobei in ( 3a ) Gebrauch gemacht wurde von Identität ( 1 )
Die klassische binomische Formel dürfen wir in ( 3a ) gerade nicht verwenden, weil wir ja gesagt hatten, dass unterschiedliche Komponenten bzw. Paulimatrizen gerade NICHT vertauschen. Da aber ß beliebig gewählt war, folgt aus ( 3ab ) offenbar die ===> Antikommutatorbeziehung
{ S ( i ) ; S ( j ) } := S ( i ) S ( j ) + S ( j ) S ( i ) = 1/2 DELTA ( i ; j ) * 1| ( 4 )
Beziehung ( 4 ) vermisse ich in Wiki schmerzlich. Weitere Einzelheiten in dem Klassiker von Rose ; " Angular Momentum "
