Gibt es lineare Abbildung mit folgenden Eigenschaften?

Question

ich soll mit den folgenden Eigenschaften entscheiden, ob es eine lineare Abbildung f: ℚ³ → ℚ³ gibt.
Kann mir jemand sagen wie ich das mache?

Comments

(b)\(\quad f(^t\!(x,y,z))={^t}\!(z,y,x)\).
(c)\(\quad\) Nein. Es muss \(f(^t\!(0,0,0))={^t}\!(0,0,0)\) gelten.

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Ich verstehe nicht ganz, warum das bei c) ein argument dafür ist, dass es keine solche lineare abbildung gibt .

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Weil \(f(^t\!(0,0,0))={^t}\!(1,1,1)\)  ist.

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ah jetzt habe ich es kapiert ^^

stünde dort für alle x,y.z ∈ ℚ ohne 0 könnte es aber wieder eine lineare Abbildung sein, nicht wahr?

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ich habe überlegt die a) mithilfe der additivität oder kommutativität zu beweisen, jedoch lässt sich keiner der vektoren durch einen anderen darstellen .Gibt es hier noch eine andere Möglichkeit?

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Zum vorletzten Kommentar: Nein. Es muss auch \(f(-{^t}\!(x,y,z))=-f({^t}\!(x,y,z))\) gelten.

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 das ist doch die homogenität einer linearen abbildung.

wie hilft mir dieses kriterium in diesem fall weiter?

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EDIT: Kann hier jemand der Moderatoren vielleicht mal die Fragestellung lesbarer machen? Scheint für die Beteiligten lesbar gewesen zu sein und erscheint nun häufig bei den ähnlichen Fragen. Danke. 

Answer 1

Es ist bei a) 

Eine lin. Abb. ist immer durch die Festlegung der Bilder für eine
Basis des Vektorraumes gegeben. Das ist hier geschehen, klappt also.

Comments

Ah okay

Das war mir nicht bekannt :)

Ich bin mit linearen Abbildungen noch verdammt unsicher.

Was sind denn neben Homogenität und Additivität noch Kriterien mit denen man eine solche Aufgabenstellung schnell lösen kann?

Wenn mich nicht alles täuscht müsste es zu folgenden Eigenschaften doch auch eine lineare Abbildung geben?

$$ f(^{ t }\left( 1,2,3 \right) =^{ t }\left( 3,2,1 \right) ,\quad f(^{ t }\left( 3,2,1 \right) =^{ t }\left( 1,2,3 \right) ,\quad f(^{ t }\left( 1,1,1 \right) =^{ t }\left( 2,2,2 \right) $$

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wenn die drei Vektoren, für die die Bilder festgelegt sind lin. unabh. sind,

klappt es immer.

Wenn nicht, gibt es ja einen, der sich durch die naderen darstellen läßt

und dann muss das Ergebnis zu der Darstellung passen.

wenn etwa  f(1;0) = (1;2) und  f(0;1) = ( 2;5 )  gegeben ist,

dann muss f(1;1) = ( 3; 7) sein.

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Ich danke dir!
Die 3 Vektoren in meinem Besipiel, für die die Bilder festgelegt sind, sind nicht linear unabhängig.

Ich kann ^t(1,1,1) ja durch (^t(1,2,3)+^t(3,2,1))*(1/4) darstellen

Es gäbe eine lineare Abbildung, wenn :

f((^t(1,2,3)+^t(3,2,1))*1/4)=f(^t(1,1,1)

(f(^t(1,2,3))+f(^t(3,2,1)))*1/4=f(^t(1,1,1)

(^t(4,4,4))*1/4=^t(2,2,2)

^t(1,1,1)≠^t(2,2,2)

Demnach keine lineare Abbildung.

Ist der Beweise so in Ordnung bzw. stimmt das überhaupt?

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Ja, so stimmt es .

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Da fällt mir ja ein Stein vom Herzen :)
Vielen Dank nochmal!!