Vektorräume Aussagen wahr oder falsch

Question

Ich habe hier drei Aussagen zu Vektorräumen bzw. zu linearen Abbildungen und soll entscheiden, ob diese wahr oder falsch sind.

Vorab: Im folgenden sei K stets ein Körper und V, W endlichdimensionale Vektorräume über K.

            m entspricht der Dimension von V und n der Dimension von W.

1. Es gilt m=n genau dann, wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V → W gibt mit Kern(f)={0}.

2. Falls n < m, gibt es eine surjektive lineare Abbildung f: V → W.

3. Sei Sur(V,W) ⊂ Hom_K(V,W) die Teilmenge der surjektiven linearen Abbildungen. Ist das ein Untervektorraum?

Ich habe die Vermutung, dass 1. falsch und 2. wahr ist.

Answer 1

1 ist wahr     surjektiv und Kern ={ 0 } heißt: Es gibt einen Isomorphismus.

Und endlichdim Vektorräume über K sind immer isomoph zu K^n .

2 ok

3 jeder Unterraum enthält die 0.

Der 0-Hom. ist aber nicht surjektiv. wenn dim W > 0 ist.

Comments

Also wahr/wahr/falsch

Ich habe bei 1. surjektiv und injektiv vertauscht gehabt ^^

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also injektiv und Kern = 0 ???

dann stimmt es nicht.

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ne die aussage steht dort richtig :)
ich hatte bei meinen überlegungen injektiv und surjektiv vertauscht gehabt :D