Zeigen Sie, dass ℂ ein ℝ-Vektorraum ist

Question

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Zeigen Sie, dass ℂ ein ℝ-Vektorraum ist

Soweit bin ich gekommen:
Bevor ich nachweisen kann, dass es sich hierbei um einen Vektorraum handelt, muss ich anscheinend erst den Gruppennachweis bringen

Vektoraddition ⊕ V x V -> V = {(v1, v2) | v1, v2 ∈ V} (v1, v2) -> v1⊕v2
Skalare Multiplikation ⊗ K x V -> = {(k, v) | k ∈ K, v ∈ V} (k,v) k ⊗ v

Gruppennachweis:

Assoziativität von ⊕   v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3
Neutrales Element von ⊕   v⊕e=e⊕v=v
Inverses Element von ⊕   v⊕v^-1=v^-1⊕v=e
Kommutativität von ⊕   v1⊕v2 = v2⊕v1

Damit wäre nachgewiesen, dass es eine abelsche Gruppe ist

Für den Vektorraum-Nachweis muss anscheinend noch folgendes geschehen:

Neutralität von e∈K   e⊗v = v
Assoziativität von ⊗ mit *   (k1*k2)⊗v = k1⊗(k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit +   (k1+k2) ⊗ v = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit ⊕   k⊗(v1+v2) = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)

Damit ist es ein Vektorraum, aber anscheinend reicht das noch nicht um zu beweisen, dass es auch ein ℝ-Vektorraum ist...wie verfahre ich weiter?

Comments

\(\mathbb{C}\) ist trivialerweise ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum. Wenn ich jetzt für die Skalare einen Unterkoerper von \(\mathbb{C}\) nehme, dann gehen die Rechenregeln, die sogar für ganz \(\mathbb{C}\) gelten, ja nicht von kaputt. Man muss diese ganzen Vektorraum-Axiome nicht alle noch mal nachrechnen.

Answer 1

Du musst das schon etwas konkretisieren auf deine Situation

Also K=IR   und   V = C

Gruppennachweis:

Assoziativität von ⊕   v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3  (weil Addition in C assoziativ ist)

Neutrales Element von ⊕ ist die komplexe Zahl 0 = 0 + 0*i    v⊕0=0⊕v=v
Inverses Element von  v bei ⊕  ist  - v   ( es geht doch um Addition )
Kommutativität von ⊕   v1⊕v2 = v2⊕v1

Damit wäre nachgewiesen ( bzw. von früher bekannt)

, dass C mit der Addition es eine abelsche Gruppe ist .

Für den Vektorraum-Nachweis muss  noch folgendes geschehen:

Neutralität von 1∈IR bezüglich der S-Multiplikation     1*v = v gilt für alle v aus C.
Assoziativität von * in IR mit S-Multiplikation ⊗   (k1*k2)⊗v = k1⊗(k2⊗v)
Distributivität ⊗ (S-Multipl. mit + (Addition in IR) und ⊕ in C

(k1+k2) ⊗ v = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)

Distributivität ⊗ mit ⊕   k⊗(v1 ⊕ v2) = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)

Jetzt dürfte es passen. Das sind ja alles Eigenschaften , die aus der Tatsache,

dass IR eine Teilmenge besser Teilkörper ) von C ist, folgen.

Comments

Vielen Dank dafür, ich konnte das soweit nachvollziehen. Ist der Beweis, dass ℂ ein ℝ-Vektorraum ist, nun damit abgeschlossen, oder fehlt da noch was?

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Nö, das passt.