Wie viele Untervektorräume besitzt ℤ^2 p als Vektorraum über ℤp?

Question

Sei p eine Primzahl.

Wie viele Untervektorräume besitzt \( \mathbb{Z}_{p}^{2} \) als Vektorraum über \( \mathbb{Z}_{p} ? \)

Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Also zuerst lässt sich feststellen, dass Z/pZ ein Körper, sofern p eine Primzahl ist. Das heißt mit (Z/pZ)^2 ist auch tatsächlich ein Vektorraum gegeben. Da es in Z/pZ keine nichttrivialen Ideale gibt (es ist nämlich ein Körper), kann jeder Vektor (a, b) mit a, b ≠ 0 in die Form (1, b/a) oder (a/b, 1) überführt werden. Aus diesem Grund findet man hier meiner Meinung nach immer nur höchstens 2 linear unabhängige Vektoren. Das heißt, es gibt auch nur höchstens 2 (nichttriviale) Untervektorräume.

Comments

In ℝ² können auch höchstens zwei Vektoren linear unabhängig sein; trotzdem gibt es unendlich viele Unterräume.

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Stimmt. Daher lässt sich vorerst nur feststellen: Jeder Untervektorraum von (Z/pZ)² hat maximal die Dimension 2.

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Bzw. gibt es nur einen Untervektorraum der Dimension 2. Die Frage ist, wieviele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es? Dahin führt die Antwort auf die Frage, wieviele paarweise linear unabhängige Basiselemente kann man finden?

Da sich im Z/pZ-Vektorraum, wie bereits erwähnt, jedes Element (a, b) auf (a/b, 1) oder (1, b/a), für a, b ≠ 0 zurückführen lässt, genügt es zu zählen, wieviele paarweise linear unabhängige Elemente der Form (a, 1) es gibt (mit a ≠ 1), da sich jeder Vektor der Form (1, b) wiederum auf (1/b, 1) zurückführen lässt. Von der Art (a, 1) gibt es wiederum (p-1) paarweise linear unabhängige Vektoren. Dies sieht man ein, da (a, 1) und (a', 1) sich für a ≠ a' durch kein b aus Z/nZ ineinander überführen lassen. Das heißt auch, dass es (p-1) eindimensionale Untervektorräume mit diesen Erzeugern gibt. Zu diesen kommen die zwei trivialen Untervektorräume, die durch (1, 0) und (0, 1) erzeugt werden. Insgesamt haben wir also (p-1) + 2 = p + 1 eindimensionale Untervektorräume, die darüberhinaus alle p Elemente haben. Die paarweise Schnittmenge dieser eindimensionalen Untervektorräume ist jeweils der Nullvektor (0, 0).

Die Antwort auf die Frage, wieviele (echte, das heißt eindimensionale) Untervektorräume (Z/pZ)^2 hat, ist also anschaulich gesprochen (weil anschaulich ermittelt) p + 1.

Zieht man übrigens den Nullvektor von allen Untervektorräumen ab, so ist durch die entstehenden Mengen der Mächtigkeit p - 1 zusammen mit dem Nullvektor eine Partition des (Z/pZ)^2 gegeben. Man überlegt sich, dass man durch p + 1 Mengen der Mächtigkeit p -1, sowie der Menge, die den Nullvektor enthält (Mächtigkeit 1), wieder auf (p-1)(p+1) + 1 = p^2 Elemente des (Z/pZ)^2 kommt.

MfG

Mister