Richtigkeit von Grenzwerten ohne L'Hospital zeigen

Question

ich habe gerade eine Aufgabe bei der ich 4 Grenzwerte überprüfen soll, L'Hospital hatten wir noch nicht in der Vorlesung und dürfen wir somit nicht verwenden. 

$$(i)\quad \underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ k } } =\infty \quad \left( \forall k\in N \right) \\ (ii)\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } ln(x)=\infty \\ (iii)\underset { x\rightarrow 0,x>0 }{ lim } { x }^{ x }=1\\ \left( iv \right) \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \sqrt [ n ]{ n } =1$$

Laut Prof. sollen die wohl über die Eigenschaften der Exponentialfunktionen lösbar sein, jedoch sehe ich nicht wie und durch probieren komme ich immer nur in Richtung "mit L'Hospital lösbar" ...^^ 


Lipsen

Comments

Fuer \(x>0\) kann man z.B. \(e^x>x^{k+1}/(k+1)!\) aus der Reihe ablesen.

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Es ist klar, dass \(\sqrt[n]n>1\) für alle \(n>1\) ist. Nach dem binomischen Lehrsatz gilt für \(n>1\)$$n=\big(1+(\sqrt[n]n-1)\big)^n>1+\binom n2(\sqrt[n]n-1)^2.$$Daraus folgt \(1<\sqrt[n]n<1+\sqrt{\tfrac2n}\).