Uneigentliches Integral von 0 bis 1 von f(x) = x*ln(x)

Question

benötige Hilfe bei diesem Integral:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ xln(x)\quad dx } \\ =\lim _{ a\rightarrow 0+1 }{ \left[ \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }ln(x)-\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 2 } \right]  } \begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix}$$

Hätte jetzt gesagt da ln von rechts gegen 0 läuft ist das Integral divergent. Stimmt dies?

Danke schon mal:)

Answer 1

Die Stammfunktion stimmt.
Bei Einsetzen der Integrationsgrenzen kommt es nur bei
lim x −> 0(+)  [ x^2 * ln(x) ] zu Schwierigkeiten

x^2 * ln(x) = 0^2 * ln(0) = 0 * -∞ und ist ein Fall für L´Hospital

Umgeformt zu
ln (x ) / ( 1 / x^2 ) = -∞ / ∞
( ln (x ) ) ´ /  ( 1 / x^2 )  ´ = - x^2 / 2 und somit für lim x −> 0(+)  null

1/2 * 1^2 *ln(1) - 1/4 * 1^2 - ( 1/2 * 0^2 *ln(0) - 1/4 * 0^2 )

- 1/4

Die Notation ist nicht so ganz nach Vorschrift. Das Ergebnis stimmt.