Vektor-Notation für Kugelgleichung und Ebene verstehen

Question

könnte mir jemand diese Notation erklären:

1. Kugelgleichung:

$$ K: \vec{ x } \cdot \vec{ x } = 225 $$

2. Ebenengleichung:

$$ E: \begin{pmatrix}  1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec{ x } = 27 $$

Ich möchte mir das bildlich vorstellen, auch im Geoknecht eingeben. Weiß aber nicht wie!

→ Wie komme ich auf den Mittelpunkt der Kugel und deren Radius?

→ Wie komme ich auf drei Punkte der Ebene?

Answer 1

X * X = 225

[x, y, z] * [x, y, z] = 225

x^2 + y^2 + z^2 = 15^2

Das ist also eine Kugel um den Ursprung mit dem Radius 15

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[1, 2, -2] * X = 27

x + 2y - 2z = 27

Folgende 3 Punkte gehören zur Ebene

[27, 0, 0], [0, 13.5, 0], [0, 0, -13.5]

Du teilst dafür einfach den rechten absoluten wert durch die Koeffizienten vor den Variablen.

In Geoknecht würde das so aussehen

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene(27%7C0%7C0%200%7C13.5%7C0%200%7C0%7C-13.5)

Comments

Nachfrage: Wie kommt man von den Geoknecht-Angaben "kugel(0|0|0 15)" dann wieder auf diese Kreisgleichung?

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Bezeichnet M(Mx, My, Mz) den Mittelpunkt der Kugel und r den Radius kannst du einfach schreiben

(X - M)^2 = r^2

([x, y, z] - [Mx, My, Mz])^2 = r^2

([x - Mx, y - My, z - Mz])^2 = r^2

(x - Mx)^2 + (y - My)^2 + (z - Mz)^2 = r^2

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ich habe das in den Geoknecht übernommen.

Beispiel: kugel(3|-2|4 3)

ergibt: K: (x - 3)² + (y + 2)² + (z - 4)² = 3² 

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Hallo Kai. Ja genau. Das ist so richtig.

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Gefällt mir. Habe die Kugel gerade auf Firefox angeschaut. Ergebnis:

Kann ich nun noch den Koordinatenquader des Mittelpunktes einblenden lassen?