Trigonometrie. Punkt D auf Dreiecksseite [AB] hat von [AC] den gleichen Abstand wie von [BC]. |CD|?

Question

bei folgendem Beispiel (1.2) komm ich überhaupt nicht voran.  habe ich falsch angesetzt? Vielen dank für die Hilfe im vorhinein !

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Abstand braucht die Orthogonale durch den Punkt

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Mit der habe ich noch nie gearbeitet. Im Internet finde ich nur Skalarprodukt von Vektoren. Könnten Sie mir die Formel bzw. die Lösung schreiben? Lg.

Answer 1

1. Mach dir geometrisch Folgendes klar.

Die Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Schenkeln eines Winkels den gleichen Abstand .

2. Konstruiere D mit Hilfe der Winkelhalbierenden.

3. Schreibe alle Winkel... an und berechne | CD|

Answer 2

Das geht auch elementar geometrisch. Man wählt einen Punkt D` auf CB und dann den Fußpunkt E' des Lotes von D'  auf AB. Die Senkrechte auf AC durch D' schneidet den Kreis um D' mit dem Radius D'E' in F. Dann hat F den gleichen Abstand von D' wie E'. Führe jetzt eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum B aus, sodass F auf AC fällt. Der Bildpunkt dort heiße G. Dann schneidet die Senkrechte durch G die Seite CB in dem gesuchten Punkt D.

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Interessante Konstruktion.

Nur eine Frage: Was ist an der Konstruktion einen Winkelhalbierenden nicht "elementargeometrisch" ?

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Peinlich, peinlich. Da habe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen!

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Mithilfe von Vektoren? Muss man dazu den Punkt A auf (0/0) setzen? Kenn mich da nur bedingt aus. Habe noch eine Frage zu 1.3. Liegen die Punkte E und F auf der Hälfte der zugehörigen Seite? Lg.

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Zum Nachdenken brauche ich noch ein paar Stunden Zeit. Zum vektoriellen Lösungsweg behaupte ich - unvorsichtig - dass das nicht gehen wird. Die gesuchten Punkte E und F sind genau die Fußpunkte der Abstände von D zu den Seiten AC und CB. Ich verspreche, noch eine Zeit lang nachzudenken. Wenn ich keine Lösung innerhalb dieser Woche finde, antworte ich nicht mehr.

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Wie versprochen, habe ich weiter nachgedacht. Wenn A(0;0) und B(14;0) gesetzt werden, dann ist D(5√3; 5). Der Vektor von C nach B ist dann [14-3√5; - 5].(Schlechte Darstellung eines Vektors) Zur vektoriellen Darstellung von Winkelhalbierenden braucht man genormte Vektoren (Vektor dividiert durch seine Länge). Das wird für den Vektor von C nach B ein bisschen kompliziert, weil die Länge als Wurzel aus einem Ausdruck mit Wurzel berechnet wird. Damit ist auch noch nicht alles gewonnen. Jetzt müsste der Punkt D einmal als x-Faches von AB und einmal als y-Faches des genormten Vektors CA angesteuert werden und noch über C und F., wobei CF das y-Fache des  Vektors CB ist.
Man kann die Länge der Strecke AD nach dem folgenden Satz bestimmen: "Die Winkelhalbierende teilt die Gegenseite des Winkels im Verhältnis der anliegenden Seiten". Wenn man genau rechnen möchte, treten auch hier schlimme Wurzelausdrücke auf. Ich (pensionierter Mathelehrer) jedenfalls habe hier aufgegeben.
Soweit für heute.

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Wie kommt man auf den Vektor OC? Braucht man dafür nicht den Vektor BC bzw. AC? Müsste man da nicht eventuell mit dem Winkel Beta bzw. Alpha zum Richtungsvektor? 

Vielen Dank für Ihre Hilfe!