In einer Urne befinden sich 10 blaue (B), 8 grüne (G) und 2 rote (R) Kugeln. Aus der Urne wird dreimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: Es kommt die Zugfolge RBG.
2/20 * 10/19 * 8/18 = 4/171
B: Jede Farbe tritt genau einmal auf.
4/171 * 6 = 8/57
C: Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig.
10/20 * 9/19 * 8/18 + 8/20 * 7/19 * 6/18 = 44/285
D: Mindestens zwei der Kugeln sind blau.
10/20 * 9/19 * 10/18 * 3 + 10/20 * 9/19 * 8/18 = 1/2
b) Aus der Ume wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 blaue Kugeln dabei?
COMB(4, 3)·0.5^4 = 1/4
c) Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel ist?
1 - (1 - 2/20)^n ≥ 0.9 --> n ≥ 21.9 --> n ≥ 22
d) In einer weiteren Urne U2 befinden sich 8 blaue, 8 grüne und 4 rote Kugeln. Es wird folgendes Spiel angeboten: Man muss mit verbundenen Augen eine der beiden Urnen auswahlen und 1 Kugel ziehen. Ist die gezogene Kugel rot, so erhält man 20 € ausbezahlt. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
1/2 * 2/20 + 1/2 * 4/20 = 3/20
Erwartungswert der Auszahlung: 3/20 * 20 = 3 €
Bei einem Einsatz von 3 Euro ist das Spiel fair.