Differenzialrechnung Sachaufgabe Bergtour

Question

über die Ferien haben wir ein Arbeitsblatt zum üben der Differenzialrechnung bekommen. Leider bin ich echt eine Niete in Mathe. Ich verstehe zwar wir die Ableitungen und so gehen, aber bei der Anwendung versage ich hoffnungslos. Ich habe mir bereits mehrere Videos angesehen, diese stellten allerdings keinerlei Hilfe für mein Problem.

Es geht um folgendes:

Drei Freunde möchten eine Bergtour unternehmen. Das Streckenprofil kann über dem Intervall I = [0;10] durch den Graphen f(x)=0,025(x-4)³(x-10)+4 beschrieben werden.

Ich hab das Übungsblatt mal eingefügt weil es sonst zu viel zum schreiben wäre.

 a) Ich nehme an, dass die Bergtour bei 2000m startet aber wo endet sie? Wie lese ich das heraus? 

b) Ich glaube die Strecke beträgt 24 km und die tatsächliche Strecke ist größer weil es ja bergauf und ab geht

Ab Aufgabe c weiß ich nicht weiter, kann mir bitte jemand helfen und mir Tips zum lösen der der  Aufgabe geben?

Ich möchte die Differentialrechnung wirklich gerne verstehen. Mir geht es nicht darum einfach die Aufgabe zu lösen.

Ich wäre über jede Hilfe dankbar

Liebe grüße

Answer 1

Drei Freunde möchten eine Bergtour unternehmen. Das streckenprofil kann über dem Intervall [0; 10] durch den Graphen der Funktion

f(x) = 0.025·(x - 4)^3·(x - 10) + 4

beschrieben werden. Dabei entspricht 1 Einheit auf der x-Achse 2 km und 1 Einheit auf der y-Achse 100 m.

a) In welcher Höhe startet die Bergtour und auf welcher endet sie?

f(0) = 20 --> 2000 m

f(10) = 4 --> 400 m

b) Wie weit liegen der Start- und der Endpunkt (horizontal) voneinander entfernt? Ist die tatsächlich gelaufene Strecke geringer oder größer?

10 - 0 = 10 --> 20 km

Die tatsächlich Gelaufene Strecke ist größer. 20 km wäre es wenn es nur eine gerade Strecke ohne Höhenunterschied wäre.

c) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle auf dem insgesamt betrachteten Streckenabschnitt?

(f(10) - f(0)) / (10 - 0) = -1.6 --> - 160 m / 2km --> - 80 m/km

d) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle auf den ersten 4 km?

(f(2) - f(0)) / (2 - 0) = - 7.2 --> - 720 m / 2km = - 360 m/km

e) Geben sie einen Kilometerpunkt an, an dem das genaue Gefälle positiv, negativ bzw. null ist.

f(1) < 0

f(4) = 0

f(8.5) = 0

f(9) > 0

f) Ermitteln Sie unter Verwendung der graphischen Methode das genaue Gefälle am Kilometerpunkt 4.

f'(4) ≈ 0

g) Berechnen Sie das genaue Gefälle am Kilometerpunkt 4.

f(x) = 0.025·(x - 4)^3·(x - 10) + 4

f'(x) = 0.075·(x - 4)^2·(x - 10) + 0.025·(x - 4)^3

f'(4) = 0

Comments

Vielenlieben Dank,

das hat mir schon sehr geholfen.

Kannst du mir nur den letzten Punkt g) noch einmal erläutern?

f(x) = 0.025·(x - 4)³·(x - 10) + 4

f'(x) = 0.075·(x - 4)²·(x - 10) + 0.025·(x - 4)³

f'(4) = 0

Also die erste Ableitung machen und wie geht es dann weiter?

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Ableitung bilden und Kilometerpunkt 4 einsetzen. Das Gefälle beträgt dort 0. Es gibt dort keine Steigung. Wir müssten uns da am tiefsten Punkt des Profils befinden an dem es zu beiden Seiten nur nach oben geht.