Exponentieller Abstieg? Gärtner verkaufte Äpfel . Anfangsbestand?

Question

ich benötige für folgende Aufgabe einen Lösungsansatz bzw. sogar die Lösung:

Answer 1

Sei x die Anzahl der Äpfel, die der Gärtner dem siebenten Käufer verkauft und y₇ die Anzahl der Äpfel, die er vor diesem Verkauf hatte.

> Dem siebenten Käufer verkaufte er die Hälfte der übrigen Äpfel und noch einen halben Apfel.

Also ist

(1)        x = y₇/2 + 1/2.

> Dann besaß er keine mehr.

Also ist y₇-x = 0, oder anders ausgedrückt x = y₇. Einsetzen in (1) liefert

(2)        y₇ = y₇/2 + 1/2,

woraus y₇ = 1 folgt.

Sei y_i die Anzahl der Äpfel, die der Gärtner vor dem Verkauf an den i-ten Käufer besitzt. Er verkauft y_i/2 + 1/2 Äpfel an den i-ten Käufer, hat nach diesem Varkauf also nur noch y_i - (y_i/2 + 1/2) Äpfel. Also ist

(3)        y_i - (y_i/2 + 1/2) = y_i+1.

Nach y_i umgeformt liefert das

(4)        y_i = y_i+1/2 + 1/2.

Da du y₇ mittlerweile kennst, kannst du durch einsetzen in (4) die Werte y₆, y₅,  etc_. ausrechnen.

Answer 2

7 : 1 Apfel / 2 + 1/2 = 0
6.  3 - ( 3 Äpfel / 2 + 1/2 ) = 1
5 : 7 - ( 7 / 2 + 1/2 ) = 3
4. 15 - ( 15 / 2 + 1/2 ) = 7

1-3-7-15 ..
Das Doppelte des vorherigen + 1

1-3-7-15 ..31,63,127,255

Anfangsbestand : 255 Äpfel

Vielleicht kannst du eine Formel aufstellen ?