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Volumsberechnung Tetraeder T mittels Mehrfachintegral
Um das Volumen des Tetraeders \(T\), das durch die Ebene \(2x - 3y + 2z = 6\) und die Koordinatenebenen im \(\mathbb{R}^3\) begrenzt wird, mit Hilfe von Mehrfachintegralen zu berechnen, ist es zunächst nötig, die Grenzen der Integration festzulegen und die Frage zu beantworten, warum man über \(1\) integriert.
Wahl der Grenzen:
Um die Grenzen für die Integration zu bestimmen, ist es hilfreich, die Schnittpunkte der gegebenen Ebene mit den Koordinatenachsen zu ermitteln. Diese Schnittpunkte geben uns die Begrenzungen des Tetraeders im jeweiligen Koordinatensystem an.
1.
Schnittpunkt mit der x-Achse (\(y=0, z=0\)): Setzt man \(y=0\) und \(z=0\) in die Gleichung der Ebene ein, erhält man \(2x = 6\) oder \(x=3\).
2.
Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x=0, z=0\)): Setzt man \(x=0\) und \(z=0\) in die Gleichung ein, ergibt sich \(-3y = 6\) oder \(y=-2\). Da jedoch \(y=-2\) außerhalb des ersten Quadranten liegt und nicht zu einem Schnittpunkt mit der y-Achse im positiven Bereich führt, ist ein solcher Punkt für die Volumenberechnung irrelevant. Die Ebene schneidet die y-Achse nicht in einem Bereich, der für das Volumen des Tetraeders im ersten Quadranten relevant wäre.
3.
Schnittpunkt mit der z-Achse (\(x=0, y=0\)): Setzt man \(x=0\) und \(y=0\) ein, erhält man \(2z = 6\) oder \(z=3\).
Warum integriert man über \(1\)?
Das Integral über \(\int\int\int_T 1\, dx\,dy\,dz\) repräsentiert das Volumenelement \(dx\,dy\,dz\), über den gesamten Bereich des Körpers \(T\) integriert. Dieser Integrationsvorgang summiert quasi die infinitesimal kleinen Volumenelemente auf, um das Gesamtvolumen des Tetraeders zu berechnen. Man integriert über \(1\), um direkt das Volumen des definierten Raumes zu erhalten, ohne eine weitere Funktion über diesen Bereich zu integrieren.
Mehrere Integrale zur Lösung
Zur Lösung dieser Aufgabe muss man im Allgemeinen drei Integrale nacheinander (also ein Mehrfachintegral) ausführen, da es sich um ein dreidimensionales Problem handelt. Die Grenzen für diese Integrale ergeben sich aus den Schnittpunkten und der Gleichung der Ebene:
1. Die Grenzen für \(z\) ergeben sich aus der Gleichung der Ebene umgeformt nach \(z\), \(z = 3 - x + 1.5y\), wobei \(z\) von \(0\) bis \(3 - x + 1.5y\) läuft.
2. Die Grenzen für \(y\) können durch Betrachten der Ebene in der \(xy\)-Ebene gefunden werden und laufen von \(0\) bis zu einem maximalen \(y\), das sich aus der Gleichung ergibt, wenn \(z=0\) gesetzt wird.
3. Die Grenze für \(x\) läuft letztlich von \(0\) bis \(3\).
Die Integration über \(1\) innerhalb dieser Grenzen ergibt dann das Volumen des Tetraeders. Eventuell genannte zwei Integrale beziehen sich möglicherweise auf vereinfachte Ansätze oder spezifische Schritte im Rahmen der Mehrfachintegration, je nachdem, wie die Integration aufgeteilt oder durchgeführt wird.
Ohne die spezifische Lösung und den Integralansatz zu sehen, der auf dem Bild präsentiert wurde, lässt sich schwer beurteilen, wie genau das Integral aufgestellt wurde. Doch der grundsätzliche Ansatz für die Mehrfachintegration zur Volumenberechnung folgt dem beschriebenen Muster: Festlegung der Grenzen basierend auf den Ebenengleichungen und Schnittpunkten mit den Achsen, gefolgt von der Integration über die konstante Funktion \(1\) innerhalb dieser Grenzen.
