Beweisen, dass a+b:=a+b-a*b eine abelsche Gruppe ist.

Question

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei G:=ℚ\ {1}. Zeigen Sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe ist.

+: ℚ x ℚ → ℚ

a+b:=a+b-a*b

zu zeigen sind die vier Axiome:

Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz des neutralen Elements und der inversen Elemente.

Ich bräuchte ein bisschen Hilfe, was das Verstehen der Aufageb anbelangt.

Wäre nett, wenn jemand erklären könnte, was man bei den einzelnen Schritten machen muss und wie man darauf kommt.

MfG

Lola

Answer 1

Abgeschlossenheit

Du musst also zeigen, dass für  a,b aus ℚ\ {1} auch

a+b-a*b  aus ℚ\ {1} ist  Aus  ℚ ist ja klar und den Rest

machst du indirekt, wäre

a+b-a*b = 1  

1. Fall a=0   dann hast du  b=1 aber b ist ja nicht 1

2. Fall a ≠0 dann kannst du dividieren

1 + b/a  -  b  =  1/a 

1   -  b  =  1/a  - b/a   =   ( 1-b) / a

und das gilt nur für b=1 .

neutrales El. ist 0

inverses zu a ist a / ( a-1)  existiert immer, da nicht gleich 1.

Für das Assoziativges. musst du nachrechnen

a+b-a*b + c - (a+b-a*b)*c  müsste sein

a +( b+c-b*c) -  a*( b+c-b*c)

Comments

Ach ja, kommutativ musst du auch noch zeigen, das ist nur eine Zeile.

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Hey mathef,


Wie kommst du auf die Umformungen bei der Abgeschlossenheit für den Fall das a≠0 ist?

MfG
Lola

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und noch eine Frage habe ich zur Assoziativität:
zu zeigen ist dass (a+b)+c = a+(b+c) ist
Wenn man die Vorschrift a+b-a*b einsetzt, wie kommst du dann auf a+b-a*b + c - (a+b-a*b)*c ?

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(a+b)+c

= a+b-a*b   + c   und das rote + ist ja dieses neue Veknüpfung, wenn

du also a+b-a*b   + c  ausrechnen willst musst du in die Definition a+b-a*b

für  a den Term  a+b-a*b einsetzen und für b das c.

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ok das klingt logisch.

Und deine Umformungen beim 2. Fall a≠0? Die kann ich noch nicht ganz nach vollziehen.

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Abgesclossen heißt doch, als Ergebnis darf nie 1 rauskommen.
Der Ansatz, dass als Ergebnis einer "Addition" 1 herauskommt
führt auf:

1   -  b  =  1/a  - b/a   =   ( 1-b) / a

heißt doch, das geht nur für a=1 oder für b=1.
Beides ist aber nicht möglich da a und b beide nicht 1 sind.
Deshalb gilt die Gleichung nie

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klar macht es sinn die abgeschlossenheit durch die 1 zu zeigen. aber nur weil bei der addition 1 rauskommen soll, hätte mich das nicht sofort auf  1   -  b  =  1/a  - b/a   =   ( 1-b) / a geführt.

ich habe noch eine frage bezüglich des inversen elements zu a.

wie kommt man darauf dass a'=-a/(1-a) ist? Woraus entsteht das?

Grüße

Lola

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hätte mich das nicht sofort auf  1   -  b  =  1/a  - b/a   =   ( 1-b) / a geführt.

war eigentlich nicht so fernliegend, denn der Ansatz ist ja

a + b - a*b = 1   dann ist ja vielleicht  die Division durch a noch einsehbar

1 + b/a - b = 1/a      und wenn man auf der Suche nach einem Widerspruch

zu a und b beide ungleich 1 ist, fiel es mit nach einiger Zeit auf, dass es mit

1   -  b  =  1/a  - b/a   =   ( 1-b) / a  ganz gut geht.

Das neutrale El ist 0 ( Das ist ja ziemlich leicht zu sehen, und dann muss man

ja nur   a+ a' - a*a' = 0 so umstellen, dass a' alleine steht.

also  a' - a*a' =  -a     und dann links a ' ausklammern.