Question

Zeigen Sie nur mit Hilfe der Körperaxiome: ab = 0 genau dann, wenn a = 0 oder b = 0.

Mein Lösungsvorschlag:

Wir haben, dass a*b=0 wenn a=0 oder b=0. Wie nehmen an, dass a=0. Dann gilt:

a+a*b = a*b + a*b     / (-a*b)

(-a*b) + a + a*b = a*b + a*b - a*b

a = a*b

0=a*b

Das selbe gilt für b=0.

b+b*a = b*a + b*a          / (-b*a)

-b*a + b + b*a = b*a + b*a - b*a

b= b*a

0=b*a

Sind a, b ∈ K (K ist ein Körper), dann gilt:
0*a*b = (0 + 0) *a*b

0*a*b=0*a + 0*b         / Wir addieren das additive inverse von 0*a*b zu beiden Seiten:

(-0*a*b) + 0*a*b = -(0*a*b*) + (0*a + 0*b)

0= (-(0*a*b) + 0*a*b) + 0*a*b

0 = 0*a*b

Ist das richtig? Und muss man noch was beweisen?

Answer 1

Hallo certi,

ich denke, du solltest so vorgehen:

1)

Für b = 0   gilt:    a * b =  a * 0  =_I+  a * (0+0)  =_DG   a * 0 + a * 0   →_I+,#  a * 0  = 0 

[ # das neutrale Element n=0 ist eindeutig:  n₁ + a = a = n₂ + a  →  n₁ =  n₂ ]  

Für a = 0 analog 

2)  

Annahme:   a * b = 0   und   a≠0  und b ≠ 0 

a^-1 * ( a * b ) = 0         [ a^-1 * 0 = 0 vgl. oben ]

( a^-1 * a ) * b = 0    (AG*)

     1 * b = 0            (I*)

        b = 0               (spezielles Körperaxiom)

Das ist ein Widerspruch zur Annahme,  a * b = 0 kann also nur mit a=0 oder b=0 gelten 

1) und 2) → Behauptung

Gruß Wolfgang