Gruppen, Assoziativgesetz beweisen

Question

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Sei G:= ℚ\{1}

zu zeigen: (G,+) ist abelsche Gruppe

a+b:= a+b-a*b

Ich soll die Gruppenaxiome zeigen. Am meisten Probleme bereitet mir das Assoziativgesetz.

Zu zeigen ist ja, dass (a+b)+c=a+(b+c)

dann setze ich ein: (a+b-a*b)+c = a+(b+c-b*c)    ←bis hierhin ist alles klar

dann die Zwischenschritte, die ich nicht so nachvollziehen kann:

(a+b-a*b)+c

= (a+b-a*b)+c - (a+b-a*b)-c   ← Hierzu schon meine erste Frage:

Wie komme ich auf: - (a+b-a*b)-c ?

=a+b-a*b+c-a*b-b*c+a*b*c    ← Wie kommt diese Umformung zustand?

=a+b+c-b*c-a*b-a*c+a*b*c    ← Selbe Frage wie zuvor: mit welchen Umformungen kommt man hierhin?

=a+(b+c-b*c) -a *(b+c-b*c)    ← Wie wurde hier umgeformt?

=a+(b+c-b*c)                         ← Wieso kann man hier  -a *(b+c-b*c) weglassen?

Wäre nett, wenn mir jemand dieses Vorgehen nochmal erklären könnte.

Grüße

Lola

Answer 1

(a+b-a*b)+c

= (a+b-a*b)+c - (a+b-a*b)*c   ← Hierzu schon meine erste Frage:

Wie komme ich auf: - (a+b-a*b)-c ?  Das muss ein * vor dem c sein.

Schreib dir doch die Def. dieser "Addition" mal mit x uny hin

x + y - x*y und setze jetzt  x= (a+b-a*b)  und   y = c  Dann entsteht genau die rote Zeile

=a+b-a*b+c-a*b-b*c+a*b*c    ← Wie kommt diese Umformung zustand? Löse in der  korriegierten

roten  Zeile die Klammern auf

=a+b+c-b*c-a*b-a*c+a*b*c    ← Selbe Frage wie zuvor: mit welchen Umformungen kommt man hierhin?

einfach nur umsortiert

=a+(b+c-b*c) -a *(b+c-b*c)    ← Wie wurde hier umgeformt? : Im hinteren Teil a ausgeklammert

=a+(b+c-b*c)                         ← Wieso kann man hier  -a *(b+c-b*c) weglassen?

wie oben: wenn du in der Version mit x und y für x=a und y = (b+c-b*c)        einsetzt, passt es.

Comments

der ansatz mit x,y einzusetzten ist ein guter tipp.
danke!