Stetigkeit einer Funktion in einem Intervall

Question

Ich soll zeigen, dass die Funktion f(x)=(x+2)/(x^2-4) stetig ist im Intervall (0,2).

Ich hätte jetzt zuerst an das Epsilon Delta Kriterium gedacht, aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das mit dem Intervall machen soll. Wenn ich Stetigkeit in nur einem Punkt zeigen müsste, hätte ich eine Idee, aber wie gehe ich mit einem ganzen Intervall um?

Comments

Im gegebenen Intervall kannst du ja erst mal kürzen

 f(x)=(x+2)/(x²-4) = (x+2)/((x-2)(x+2)) = 1/(x-2) 

Nun müsste man wissen, was ihr über stetige Funktionen schon bewiesen habt.

Wenn du über die Definition gehen sollst, wähle ein xo im gegebenen Intervall und versuche dann die Behauptung mit Epsilon und Delta zu formulieren.

Danach sollst du das dann beweisen. 

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Die Frage, die ich mir stelle ist, wie ich mit dem Intervall genau vorgehen muss. Muss ich mit dem Epsilon Delta Kriterium erst die Stetigkeit in 0 und in einem zweiten Beweis mit 2 zeigen? Oder kann ich das auch irgendwie zusammenfassen? Aber wie schreibe ich das dann auf? Also

|f(x) - f(x₀)| = |1/(x-2) - 1/(0-2)|

und das gleiche für 2

oder wie muss ich da vorgehen?

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Nein. Arbeit einfach mit xo und einer Epsilonumgebung um xo.

 Intervall

(xo - E, xo+ E)

Du kannst xo auch a oder b nennen, wenn dir das besser gefällt.

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Also dem Intervall erstmal keine größere Beachtung schenken und x₀ dafür einsetzen. Was mache ich dann im Ergebnis? Da kommt dann vermutlich etwas mit x₀ raus. Reicht das dann oder muss ich dann noch irgendetwas speziell schreiben für das Intervall (0,2)? 

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Das wäre dann doch für den gesamten Zahlenbereich, also für gesamt R, oder? Oder ist das egal bei einem offenen Intervall? Vielleicht halte ich mich auch zu sehr an dem Intervall auf.

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du musst einfach noch dafür sorgen, dass dein Intervall nicht über die Intervallgrenzen schaut.

Also xo + E < 2 und xo- E > 0 ist.

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Okay, vielen Dank für deine Hilfe!