Ich lade dich ein, dich mal mit Edward Nelson zu beschäftigen und seiner ===> Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) Lehrbuch von Alain Robert bei wiley; ich bin da ein absoluter Fan von .
Die Notation wird klarer, wenn wir ab Jetzt vereinbaren:
1) Die Variable " klein a " darf nur dann als " groß A " notiert werden, wenn ihr Wertebereich auf Standardwerte eingeschränkt ist ( Ähnlich wie man traditionell ja auch Vektoren durch gotische Buchstaben hervor hebt. )
2) Inf(initesimale) Zahlen werden durch griechische Buchstaben dargestellt.
Noch ein wort in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Ich kann es auch; es heißt nicht " Äquivalenzrelation " , sondern Gleichheitsbeziehung ( GB ) Die Relation " x ( = ) y " , in Worten:
" x ist inf benachbart zu y " , ist eine solche ( Pseudo) GB .
DEFINITION
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Eine Funktion y = f ( x ) heiße inf stetig in x1 , wenn
x1 ( = ) x2 ===> y1 ( = ) y2 ( 1 )
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SATZ 1 ( Stetigkeit )
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Sei Y = F ( x ) F ist stetig in X0 <===> F ist inf stetig in X0
x ( = ) X0 ===> y ( = ) Y0 ( 2a )
F ist gleichmäßig stetig auf seinem Definitionsbereich d ( F ) <===> F ist inf stetig auf d
x1 ( = ) x2 ===> y1 ( = ) y2 ( 2b )
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die NSA ist Case-sensitive; durch die Groß-Klerinschreibung springt der Unterschied zwischen ( 2a ) und ( 2b ) geradezu in die Augen.
Zu a) Die Lipschitzbedingung lautet ja
| y2 - y1 | < l | x2 - x1 | ( 3a )
Du hast ja l = l ( f ) . Da wir unsere Funktion f ja als Standard F gewählt haben, folgt durch Transfer, dass es eine Standard Lipschitz Konstante L gibt:
| y2 - y1 | < L | x2 - x1 | ( 3b )
Nunn hast du aber auf der rechten Seite von ( 3b ) die Abnbschätzung
Standard * inf = inf ( 3c )
Womit bewiesen wäre, dass F ( x ) für alle x aus dem Intervall inf stetig ist. Nach Satz 1 bedeutetz dies aber: F ist gleichmäßig stetig.
Aufgabe b) ist ein trojanisches Pferd; die hat sich nämlich ein Anhänger der NSA ausgedacht .
Ist F auf J gleichmäßig stetig, so ist es inf stetig für alle x € J . Die Matematik schließt immer vom allgemeinen auf das Besondere; dann ist sie insbesondere inf stetig für alle X . Daraus folgt dann die ( gewöhnliche ) Stetigkeit für alle X .
ABER NICHT STETIGKEIT für alle übrigen " kleinen x "
Ein typisches Anwendungsbeispiel für das Transferaxiom:
(V) X € J | F stetig ===> (V) x € J | F stetig ( 4a )
Mit dem Wort " Transfer " ist genau das gemeint: Übertragung einer Aussage von dem Standardfall auf den allgemeinen Fall; so eine Art Induktion.
Warum b) so lehrreich ist. Warum kann ich dann nicht Spiegel symmetrisch über transfer beweisen, dass alle stetigen Funktionen auch gleichmäßig stetig sind?
Stetig für alle x . Insbesondere stetig für alle X und damit inf stetig für alle X . Der zu ( 4a ) analoge Tansfer wäre doch
(V) X € J | F inf stetig ===> (V) x € J | F inf stetig ( 4b )
Dieser Transfer ist verboten oder illegal. Die beiden Bedingungen, die erfüllt sein müssen, sind hinreichend und nicht notwendig. Also als Argument eines allgemeinen Beweises taugt es nicht.
Eine dieser Bedingungen lautet: Das Prädikat muss " schwarz_weiß " sein; verständlich für jemanden, der den Namen Nelson noch nie gehört hat.
( Stetigkeit gab es bereitss vor Nelson; inf Stetigkeit noch nicht. )
===> Alfred Tarski unterscheidet ja zwischen Sprache und Metasprache.
Nelsons NSA ist eine Metasprache zur ===> ZFC . Ich vergleiche das immer mit dem hypotetischen Mann, der Farben blind auf die Welt kam und die Welt so sieht, wie sie auf einem Schwarzweißfoto abgebildet ist. Sämtliche Aussagen, die für diesen Mann wahr sind, sind auch für uns farbtüchtige wahr.
aber Farbe bringt in unsere Welt einen Kontrast, von dem der Mann nichts ahnt. Wenn wir " Rot " sagen oder Grün oder Gelb , dann kann der Mann im Gödelschen Sinne nicht entscheiden, ob das, was wir da behaupten, überhaupt existiert.
Ich verweise nur auf die Debatte um die ===> Synästesie , wo die existenz dieses Phänomens abgestritten wurde mit dem Hinweis, so etwas könne man sich nicht vorstellen.
die c) folgt übrigens über den MWS .
