Nachfragefunktion erstellen Lagrange. Nutzenfunktion U = x_(1)x_(2)

Question

Aufgaben Teil (a) habe ich, allerdings verstehe ich Teil (b) nicht, wie ich auf die Nachfragefunktion komme. Mein Ansatz war, dass ich mit dem obigen Lagrange-Ansatz x2 ausrechnen kann. Allerdings bringt das nichts, weil ich damit weder x1 noch p1 rauskriege. Kann mir jemand erklären wie es geht bzw. was ich machen muss oder sogar  vorrechnen?

Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Haushalts laute \( U=2 x_{1} x_{2} \)
a) Stellen Sie die Lagrangefunktion auf, mit Preisen \( \mathrm{p}_{1} \) und \( \mathrm{p}_{2} \) und Einkommen e.

b) Nun seien \( \mathrm{p}_{2}=4 \) und \( \mathrm{e}=500 . \) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion für Gut \( x_{1} \)

c) Hängt für die ermittelte Nachfragefunktion die Preiselastizität von der Höhe des Preises ab? Verwenden Sie die Formel für die Preiselastizität!

Comments

Also, bis her habe ich:

U=2*x1x2.         Budgetgerade: e=p1x1+p2x2

L=2*x1x2+λ(p1x1+p2x2-e)

dL/dx1=0= 2*x1+λp1

=> -λ=2*x1/p1

dL/dx2=0= 2*x2+λp2

=> -λ= 2x1/p2

λ der beiden Gleichungen gleichgesetzt:

=> x1= 4*x2/p1

**hier**

x1 in Budgetgerade eingesetzt und zusammengefasst :

500=4*(x2+x2)500/8=62.5= x2

So jetzt habe ich schonmal x2 raus sofern das so richtig ist. Mir fehlt ja für die Nachfragefunktion allerdings x1 und p1 oder nicht? Wenn ich ab **hier**  nach x1 umstelle und weiter so verfahre, kriege ich für

x1=250/p1 raus  aber p1 ist ja noch unbekannt. Ist das alles falsch bisher?