transformationsmatrix Spiegelung im Raum

Question

Hey ich hab eine frage bezüglich Spiegelung bzw. Transformationsmatrix,

Und zwar gegeben ist normalvektor n= 1/3 (2 1 -3)^T 

Dadurch wird Punkt A im Raum an der Ebene gespiegelt.

Gefragt wird Transformationsmatrix.

Ich hab zwar durch die Formel S_n= n S_x n^T

Mit S_x = 

Mein Ergebnis dann=

Aber dann müsterlösung lautet: 

Hab ich irgendwie verechnet? Oder hab ich einfach die falsche Formel genutzt??

.

LG

Comments

ich denke, Deine Formel ist falsch. Bei einer derartigen Multiplikation muss die linke Matrix so viele Spalten habe, wie die rechte Matrix Zeilen hat.

Berechnen koennte man hoechsten $n^T \cdot S_x \cdot n$. Das Ergebnis ist aber ein Skalar und kein Vektor mehr.

Gruss

Answer 1

Hi,

zuerst mal zur Aufgabenstellung. Soll die Spiegelungsebene die Ebene durch den Nullpunkt sein die senkrecht zum Vektor $\vec n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ steht? Wenn ja, kann man den Vorfaktor $\frac{1}{3}$ ignorieren.

Die Transformnation ist dadurch bestimmt, das ein beliebiger Punkt $\vec P$ senkrecht an der Ebene gespiegelt wird. Dazu wird zuerst der Punnkt bestimmt, an dem die Gerade
$\vec P + \lambda \vec n$ die Ebene $\vec n \cdot \vec x = 0$ schneidet. Dazu setzt man die Gerade in die Ebenengleichung ein und bestimmt $\lambda$ aus der Gleichung
$$\vec n \cdot ( \vec P + \lambda \vec n ) = 0$$
Da der Abstand des gespiegelten Punktes gleich weit von der Ebene entfernt sein muss wie der zu spiegelnde Punkt, berechnet sich der gespiegelte Punkt folgendermaßen
$$\vec {P'} = \vec P + 2\cdot \lambda \cdot \vec n$$
Daraus kann man die Transformationsmatrix berechnen und man erhält
$$T = E - 2 \cdot \frac{ n \cdot n^T} { \| n \|^2 }$$