Inkreisradius Dreieck herleiten

Question

Wie komme ich ohne die Formel in der wikipedia zu nutzen (r = (2*A)/(a+b+c+) auf den Inkreisradius.

Hierzu müsste man sich die Winkelhalbierenden Geraden einzeichnen, aber wie leite ich mir dann den gesuchten Inkreisradius her? die Höhen krieg ich mit Pythagoras noch hin, aber es geht ja um das r.

Answer 1

ich gehe davon aus, dass du die "Formel aus Wikipedia" lediglich nicht abschreiben willst. Du kannst sie wie folgt herleiten:

Der Inkreisradius ρ steht senkrecht auf den Dreieckseiten. Verbindet man seinen Mittelpunkt jeweils mit den Eckpunkten des Dreiecks, dann zerlegt man dessen Fläche in drei Teildreiecke, die jeweils die Höhe ρ und eine der Seiten des Dreiecks als Grundlinie haben:

A_Δ = 1/2 • a • ρ + 1/2 • b • ρ + 1/2 • c • ρ  = 1/2 • ρ • (a+b+c)

→  ρ =  2 • A_Δ / (a+b+c)    [ =  h_c • c / (a+b+c) ]

Gruß Wolfgang

Comments

vielen Dank für die Antworten. also ich glaube ich habe mir das jetzt wie folgt hergeleitet.

habe alle Winkelhalbierenden eingezeichnet. und mir dann hc von ABD ausgerechnet, was der Inkreisradius sein müsste ? also ich habe 2,5cm als Lösung bekommen.

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richtig.

tan(36°) = r / 3.44cm

3.44cm * tan(36°) = r ≈ 2.499 cm

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Ihr habt recht.

Answer 2

Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck.

Nutze die Symmetrie aus und schneide die Winkelhalbierende wA mit der vorhandenen Winkelhalbierenden wC.

Im rechtwinkligen Dreieck rechts unten hast du übrigens die Winkel 36° , 90° und 90°-36°. Ausserdem hat eine Kathete die Länge c/2.